авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

Исследование и разработка перспективных проекций трехосного эллипсоида для картографирования поверхностей небесных тел

-- [ Страница 2 ] --

Таким образом, представляется актуальным разработать перспективные цилиндрические проекции эллипсоида вращения и перспективные проекции трехосного эллипсоида. Это необходимо для полного обеспечения теоретической базы создания карт небесных тел в перспективных проекциях.

Глава 2. Перспективные цилиндрические проекции эллипсоида вращения и принципы их получения

Рассмотрены теоретические аспекты получения перспективных цилиндрических проекций эллипсоида вращения на основе метода визирования.

Рассмотрим метод (принцип) получения перспективных цилиндрических проекций эллипсоида вращения на примере проекции с негативным изображением на секущем цилиндре в нормальной ориентировке.

Пусть на рис. 1 показан эллипсоид вращения с полуосями a и b. Его пересекает цилиндр, ось вращения которого совпадает с осью вращения эллипсоида. Аk (k, ) – точка пересечения поверхности эллипсоида и цилиндра. Точка зрения g лежит произвольно, ее положение задается расстоянием Og=D и углом . А (, ) – текущая точка на поверхности эллипсоида. Визирный луч gA пересечет образующую цилиндра A’Ak в точке A’.

Пусть начало системы координат лежит в точке О (0,0), тогда в системах координат плоскости каждого меридиана будем иметь:

О: x = 0; A: x = N(1-e2)sin; Ak: x = Nk(1-e2)sink; g: x = Dsin;

у = 0; y = - Ncos; y = - Nkcosk; y = Dcos.

Рис. 1. Схема получения перспективной цилиндрической проекции с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения

Уравнение визирного луча gA запишется в следующем виде:

(x-Dsin)(-Ncos-Dcos) = (y-Dcos)(N(1-e2)sin-Dsin), а уравнение образующей цилиндра: y = - Nk(1-e2)sink.

Из совместного решения уравнений визирного луча и образующей цилиндра, получим формулы прямоугольных координат проекции.

х = Dsin+(Dcos+Nkcosk)(N(1-e2)sin-Dsin)/(Dcos+Ncos);

y=Nkcosk. (1)

В этих формулах: x, y – прямоугольные координаты точек проекции;

D – расстояние от точки зрения до центра эллипсоида;

– угол между плоскостью экватора и линией Оg;

N – радиус кривизны сечения первого вертикала; N=a/(1-e2sin2)1/2;

e – первый эксцентриситет эллипсоида вращения; e=(1-(b/a)2)1/2;

a, b – большая и малая полуоси эллипсоида вращения.

Картографическая сетка проекции показана на рис. 2.

 Сетка перспективной цилиндрической проекции эллипсоида вращения с негативным-3

Рис. 2. Сетка перспективной цилиндрической проекции эллипсоида вращения с негативным изображением с произвольным положением точки зрения

В диссертации подробно рассмотрено получение различных вариантов перспективных цилиндрических проекций: с негативным и позитивным изображениями, на касательном и секущем цилиндрах, с различным положением точки зрения, в том числе проекции типа Брауна (точка зрения лежит на поверхности эллипсоида в плоскости экватора), типа Уэтча (точка зрения лежит в центре эллипсоида), проекции с точкой зрения, лежащей в бесконечности. Приведены варианты получения комбинированных проекций с негативным и позитивным изображениями, построены картографические сетки.

Анализ вида картографических сеток всех перспективных цилиндрических проекций эллипсоида вращения показал:

  • параллели представляют собой прямые линии, а меридианы – ортогональные параллелям равноотстоящие прямые;
  • в проекциях полюс изображается прямой линией или уходит в бесконечность (проекции типа Уэтча);
  • сетки проекций ортогональны и симметричны относительно среднего меридиана и экватора (рис. 2);
  • изоколы имеют вид прямых линий, параллельных экватору;
  • проекции являются произвольными по характеру искажений, ближе к равноугольным;

Разработанные перспективные цилиндрические проекции эллипсоида вращения дополняют существующие, что дает возможность представить теорию перспективных проекций эллипсоида вращения в завершенном и полном виде (см. табл. 1).

Глава 3. Исследование и разработка теории перспективных проекций

трехосного эллипсоида

В главе освещены особенности систем координат трехосного эллипсоида, введены понятия о широтах и долготах в связи с тем, что геодезическая система координат не является однозначной для трехосного эллипсоида.

Вопросами установления систем координат трехосного эллипсоида занимались: А. Кларк, Н. Ф. Красовский, Н. А. Беспалов и другие.

В работе используются понятия условно-геодезической и геодезической систем координат, приведенные в работе Л. М. Бугаевского «Теория картографических проекций регулярных поверхностей». В обеих системах координат долготы определяются одинаково, как двугранный угол между плоскостями сечений, проходящих через ось эллипсоида, начальный и текущий пункты. А понятия условно-геодезической и геодезической широт не совпадают.

Под условно-геодезической широтой В понимается угол между нормалью АК к эллипсу РАР1 в т. А и линией OD. Однако линия АК не является нормалью к его поверхности (рис. 3).

Под геодезической широтой трехосного эллипсоида понимается угол между нормалью к поверхности трехосного эллипсоида в т. А и плоскостью экватора.

Рис. 3. Условно геодезическая система координат трехосного эллипсоида

Формулы связи геодезической и условно-геодезической систем координат имеют следующий вид:

sinB = sin[(1+z2)/(1+z2sin2)1/2]; cosB = cos[(1+z2 sin2)-1/2], где

z = - d/d = k2sin2/[2(1-k2cos2);

d = - ab(a2-b2)sin2/[2(a2sin2+b2cos2)1/2];

d = b(1-k2cos2)-1/2; k2 = 1-(b/a)2,

a, b –полуоси трехосного эллипсоида,

– геодезическая широта данной точки,

В – условно-геодезическая широта данной точки,

– геодезическая долгота данной точки.

Различия в величинах условно-геодезических и геодезических широт не велики и наглядно представлены на рис. 4, на примере проекции типа Брауна.

 Проекция типа Брауна в различных системах координат (сплошная сетка построена-5

Рис. 4. Проекция типа Брауна в различных системах координат (сплошная сетка построена с использованием геодезической системы координат; штриховая сетка построена с использованием условно-геодезической системы координат)

В дальнейшем при рассмотрении вопросов, связанных с получением формул прямоугольных координат проекции использовалась условно-геодезическая система координат. Расчеты всех проекций выполнены для спутника Юпитера Амальтеи, т.к. его форма аппроксимируется трехосным эллипсоидом.

Перспективные цилиндрические проекции трехосного эллипсоида.

Получим формулы прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции с негативным изображением на основе метода визирования.

Рассмотрим рис. 5, на котором представлена схема получения нормальных перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения.

Рис. 5. Схема получения перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения

Пусть положение точки зрения g определяется расстоянием Og=D от центра трехосного эллипсоида и углом . А (В, ) – текущая точка на поверхности трехосного эллипсоида. Аk – точка пересечения образующей цилиндра и трехосного эллипсоида. R – радиус вспомогательного цилиндра. Возьмем начало прямоугольных координат в т. О. Тогда в системе координат плоскости каждого меридиана будем иметь:

О: x = 0; A: x = N(1-p2)sinB; g: x = Dsin;

y = 0; y = - NcosB; y = Dcos.

Запишем уравнения визирного луча gA и образующей цилиндра AkA’:

(x-Dsin)(-NcosB-Dcos) = (y-Dcos)(N(1-p2)sinB-Dsin); y = - R.

Совместное решение этих уравнений, позволяет получить формулы прямоугольных координат проекции на секущем цилиндре:

x = Dsin+(R+Dcos)(N(1-p2)sinB-Dsin)/(NcosB+Dcos); y = R. (2)

Если в качестве вспомогательной поверхности использовать касательный цилиндр, то формулы прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением будут иметь следующий вид:

x = Dsin+(а+Dcos)(N(1-p2)sinB-Dsin)/(NcosB+Dcos); (3)

y = а.

В этих формулах:

x, y – прямоугольные координаты точек проекции;

В, – условно-геодезические координаты;

R – радиус вспомогательного цилиндра;

D – расстояние от точки зрения до центра трехосного эллипсоида;

– угол между направлением Og и плоскостью экватора;

N – радиус кривизны сечения первого вертикала; N = d/(1-p2sin2B)1/2, где

d = b/(1-k2cos2)1/2; k2 = 1-(b/a)2; p2 = 1-(c/d)2.

a, b, с – полуоси трехосного эллипсоида.

 Сетка прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции-7

Рис. 6. Сетка прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения для спутника Юпитера Амальтеи с изоколами масштабов плошадей (Расчет производился по значениям: a=135000 (м), b=85000 (м), с=77500 (м); D=100000 (м), =25;

Rцилиндра=100000 (м))

В диссертации приведены 6 формул для нахождения прямоугольных координат перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным и позитивным изображением с различным положением точки зрения, а также формулы комбинированных перспективных цилиндрических проекций с негативным и позитивным изображением.

На основании расчетов прямоугольных координат проекций было построено 6 вариантов сеток разработанных проекций для спутника Юпитера – Амальтеи на рис. 7, 8 представлены 2 из них.

 Сетка перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида типа Уэтча-8

Рис. 7. Сетка перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида типа Уэтча с изоколами масштабов площадей

 Сетка перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида типа-9

Рис. 8. Сетка перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида типа Брауна с изоколами масштабов площадей

Поскольку перспективный способ изыскания проекций основан на решении прямой задачи математической картографии, свойства получаемых проекций (характер искажений, их величины и распределение) нельзя определить заранее. Эти свойства определяются после получения формул прямоугольных координат проекций и вычислений на их основе частных масштабов длин, площадей и искажений углов. На основании построенных сеток и вычисленных искажений перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида можно сделать следующие относящиеся к ним выводы:

  • в проекциях параллели изображаются в виде кривых, т.к. являются

функциями и широты, и долготы;

  • меридианы изображаются в виде равноотстоящих параллельных прямых;
  • сетки проекций не ортогональны;
  • в проекциях полюс изображается в виде прямой линии или уходит в

бесконечность (проекции типа Уэтча);

  • сетки проекции симметричны относительно среднего меридиана;
  • изоколы масштабов площадей и искажений углов имеют вид кривых.

Оценка искажений. В пределах всей картографируемой территории для оценки всех типов искажений использовался критерий вариационного типа

Е2 = 1/S2dS, (4)

где S – площадь территории;

2 – критерий Эйри, являющийся мерой комплексного искажения в отдельной точке;

2 = ((a/b-1)2+(ab-1)2)/2; (5)

a, b – экстремальные масштабы длин.

Определить Е2 в явном виде трудно, но его приближенное значение можно получить, заменив интеграл суммой i2, взятых в отдельных точках проекции

Е2 = 1/Ki2. (6)

Для определения характера искажений полученных проекций использовался критерий Г. И. Конусовой, определяющий соотношение искажений форм и площадей:

tg = (a/b-1)/(ab-1), (7)

= 0 – для равноугольных проекций;

= /2 – для равновеликих проекций;

0<</2 – для произвольных проекций.

Результаты оценки искажений по критериям Эйри и Г. И. Конусовой представим в табл. 2.

Оценка перспективных цилиндрических проекций

трехосного эллипсоида по критериям Эйри и Конусовой Табл. 2.

Положение точки зрения Критерий
Эйри Конусовой ()
1 В бесконечности 0,698 77
2 В центре эллипсоида 8,993E+30 33
3 На поверхности эллипсоида 0,662 69
4 Произвольное 0,691 76

Из таблицы видно, что наибольшие искажения наблюдаются в проекциях типа Уэтча. Наименьшие искажения в проекциях типа Брауна. Искажения в проекциях с произвольным положением точки зрения и с точкой зрения, лежащей в бесконечности примерно одинаковые.

Анализ проекций по критерию Конусовой показал, что они произвольны по характеру искажений, но наиболее близки к равновеликим, кроме проекций типа Уэтча (в этих проекциях, характер искажений ближе к равноугольному).

В практике математической картографии нашли применение проекции, получаемые комбинацией уравнений известных проекций. Уравнения таких проекций задаются как: Х = К1Х1+К2Х2, Y = К1Y1+К2Y2,

где К1+К2 = 1,

К1 – доля проекций с негативным изображением;

К2 – доля проекций с позитивным изображением;

Х1, Y1, Х2, Y2 - координаты исходных проекций.

В работе рассмотрены проекции, получаемые комбинированием перспективных цилиндрических проекций с позитивным и негативным изображением. Для определения их оптимального соотношения, т.е. коэффициентов К1, К2, использовались критерии Эйри и Г. И. Конусовой, изменения которых представлены на рис. 9.

Рис. 9. Изменения критериев Г. И. Конусовой и Эйри в зависимости от изменения коэффициентов проекций

Анализ изменений критериев показал, что при увеличении доли проекции с негативным изображением происходит незначительный рост суммарных искажений, и по характеру искажений проекция приближается к равновеликой. Наиболее близкой к равновеликой комбинированная проекция будет при K1 = 0,6.

Перспективные конические проекции трехосного эллипсоида.

Принципиальная схема получения прямоугольных координат перспективных конических проекций на основе метода визирования сводится к последовательному нахождению:

  • прямоугольных координат х, у точек проекции трехосного эллипсоида

на поверхность вспомогательного конуса в плоскости каждого меридиана;

  • прямоугольных координат xp, yp вершины вспомогательного конуса;
  • полярных радиусов и полярных углов ;
  • постоянного параметра проекции С;
  • прямоугольных координат X, Yперспективной конической проекции на

плоскости.

Рассмотрим пример получения нормальной перспективной конической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем конусе с произвольным положением точки зрения. На рис.10, точка g – точка проектирования, А – проектируемая точка (текущая точка) на поверхности трехосного эллипсоида, РА’ – образующая секущего конуса. R – радиус основания конуса в плоскости экватора, – угол между образующей конуса и его основанием. Возьмем начало системы координат в т. О, тогда в системах координат плоскости каждого меридиана получим:

Рис. 10. Схема получения нормальной перспективной конической проекции трехосного эллипсоида на секущем конусе

О: х = 0; g: x = Dsin; A: x = N(1-р2)sinВ;

y = 0; y = Dcos; y = - NcosВ.

Прямоугольные координаты х, у точек проекции трехосного эллипсоида на поверхности вспомогательного конуса можно получить из совместного решения уравнений образующей конуса и визирного луча.

Уравнение визирного луча gA запишется:

(x-Dsin)( - NcosB-Dcos) = (y-Dcos)(N(1-p2)sinB-Dsin).

Уравнение образующей конуса:

- R(x-Rtg) = - Rtg.

Из решения этих уравнений получим формулы прямоугольных координат точек на поверхности вспомогательного конуса в плоскости каждого меридиана:

x = ((Rtg+Dcostg)(N(1-p2)sinB-Dsin)+Dsintg(NcosB+Dcos))/

/(tg(NcosB+Dcos)+N(1-p2)sinB-Dsin); (8)

y = (x-Rtg)/tg.

Прямоугольные координаты вершины вспомогательного конуса хр, ур запишутся в виде: хр = Rtg; ур = 0.

На основе общих формул конической проекции и из Рис. 9 формулы прямоугольных координат перспективной конической проекции трехосного эллипсоида на плоскости запишутся в виде:

X = ю - cos; Y = sin; (9)

В этих формулах:

X, Y – прямоугольные координаты точек проекции на плоскости;

x, y – прямоугольные координаты точек проекции в плоскости каждого

меридианного сечения;

= [(х - хр)2 + (y - ур)2]1/2 – полярный радиус;

= С – полярный угол;

С = cos – параметр проекции.

Получены формулы прямоугольных координат 6-и проекций и из них построено 5. На рис. 11, 12 представлены картографические сетки 2-х из них, рассчитанные для Амальтеи.

 Сетка перспективной конической проекции с точкой зрения, лежащей в-13

Рис. 11. Сетка перспективной конической проекции с точкой зрения, лежащей в бесконечности с изоколами масштабов площадей

 Сетка перспективной конической проекции с точкой зрения, лежащей на-14

Рис. 12. Сетка перспективной конической проекции с точкой зрения, лежащей на поверхности эллипсоида в плоскости экватора с изоколами масштабов площадей

На основании построений и вычисления искажений длин, площадей и углов можно сделать следующие выводы:

  • в проекциях параллели изображаются в виде кривых (в некоторых случаях экватор изображается дугой окружности), меридианы изображаются в виде прямых, сходящихся в одной точке;
  • сетки проекций не ортогональны;
  • в проекциях полюс изображается в виде дуги окружности;
  • сетки проекций симметричны относительно среднего меридиана;
  • изоколы масштабов площадей и искажений углов имеют вид кривых.

Для выявления характера искажений проекций был проведен анализ по критериям Г. И. Конусовой и Эйри, результаты которого представлены в табл. 3.

Оценка перспективных конических проекций

трехосного

Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.