Динамика вязких циркуляционных течений в трубах и поверхностных воронках

а также распределения радиальных и вертикальных скоростей

, (44)

, (45)

где , - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка, - константа разделения, равная одному из действительных корней функции , - ордината свободной поверхности вихревой воронки.

Распределения (42)-(45) позволяют построить гидродинамическую сетку течения в вихревой воронке и векторы скоростей, показанные на рис.11. Свободная поверхность на рисунке выделена утолщенной сплошной линией.

Рис.11. Гидродинамическая сетка течения и векторы скоростей

Азимутальная компонента скорости () находится из квазилинейного дифференциального уравнения (41’), решение которого для турбулентного течения получено как функция от потенциала скорости

. (46)

Можно видеть, что в поверхностной воронке распределение окружных скоростей подчиняется экспоненциальному закону. Это характерно для любых вязких циркуляционных течений и соответствует «свободно-вынужденному вихрю Бюргерса», когда вблизи оси () жидкость вращается как «твердое тело», а на периферии распределение тангенциальных скоростей соответствует «свободному вихрю». При этом вязкое циркуляционное течение в поверхностной вихревой воронке не является ни потенциальным, ибо , ни винтовым, т.к. .

Для поверхностных слоев вихревой воронки (при ) функцию (46) можно свести к формуле

, (46’)

полученной проф. Г.А. Эйнштейном (Университет Беркли, США, Калифорния, 1955). В силу простоты, но достаточной корректности формула (46’) использована при выводе функций: радиального профиля свободной поверхности вихревой воронки (кривой вихревого мениска)

(47)

и глубины воронки на оси ее вращения ()

. (47’)

Вывод формул (47)-(47’) основан на решении уравнения (39) для свободной поверхности вихревой воронки, где избыточное давление равно нулю (), и из предположения, что силами поверхностного натяжения и радиальным градиентом пульсационной скорости можно пренебречь.

Таким образом, профиль свободной поверхности вихревой воронки и ее глубина на оси вращения определяются: интенсивностью нормированной циркуляции и комбинацией чисел Рейнольдса и Фруда . Для замыкания расчетных уравнений значение турбулентной вязкости в турбулентном числе Рейнольдса принято по работам Национального управления по аэрокосмическим исследованиям Франции (ONERA) J.M. Delery и F.L. Fernandes, S.C. Lubard

. (48)

Поскольку расчетные турбулентные числа Рейнольдса достаточно высоки, то (47’) можно существенно упростить, исключив из него малые высоких порядков, и далее установить, что критерий, определяемый неравенством

, (49)

при выполнении которого предотвращается прорыв поверхностной вихревой воронки в напорный водовод, можно представить в виде

, (49’)

где - скорость потока в водоприемном отверстии радиусом .

В завершении главы выполнена верификация математической модели циркуляционного течения в поверхностной вихревой воронке и условий ее прорыва в напорный водовод, показавшая, что расчеты хорошо соответствуют эмпирическим данным.

Экспериментальные исследования и последующая верификация математической модели выявили существенный масштабный эффект при физическом моделировании вихревых воронок, что является известным фактом, но количественные оценки в предшествующих работах значительно разнятся. Установлено, что при физическом моделировании по определяющему критерию Фруда глубину воронки, полученную на модели, необходимо пересчитывать на натуру с масштабным коэффициентом , где - линейный масштаб модели, или для получения глубины воронки на модели, соответствующей линейному масштабному пересчету на натуру, идти на форсирование скорости в раз по отношению к ее значению по правилу Фруда.

В приложении дан аналитический обзор работ по прикладной механике циркуляционных течений, обсуждается современное состояние проблемы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Обзор современного состояния гидравлики циркуляционных течений позволяет сделать вывод, что любое вязкое циркуляционное течение является комбинацией «свободного» (потенциального) и «вынужденного» (твердого) вихрей. Причем трансформация циркуляционно-продольного течения за локальным завихрителем по длине цилиндрической трубы происходит путем перераспределения его потенциальной и вихревой составляющих в пользу последней, в результате чего закрученный на входе в трубу поток по мере продвижения по аксиальной координате приобретает квазитвердое вращение, характеризующее стадию вырождения циркуляции.
2. Наиболее перспективное направление математического моделирования гидродинамики турбулентных циркуляционных течений сформировалось в рамках теории переноса завихренности Тейлора; это определяется тем, что уравнения Тейлора соответствуют специфике пространственных циркуляционных течений, где завихренность является их важнейшей характеристикой, прямо связанной с циркуляций , .
3. Разработанная в диссертации на основе модели Тейлора математическая модель установившегося циркуляционно-продольного течения в цилиндрической трубе за локальным завихрителем, включающая компоненты молекулярных и турбулентных напряжений, позволяет получить аналитические решения, описывающие радиально-аксиальное распределение структурных характеристик течения, а также проследить динамику их изменения в зависимости от начальной циркуляции и числа Рейнольдса.
4. В дифференциальных уравнениях динамики турбулентной среды в рамках теории Тейлора можно выделить слагаемые, содержащие эффективную вязкость как сумму молекулярной и турбулентной (), и слагаемые, содержащие только турбулентную вязкость (); первые позволяют рассматривать турбулентное течение как движение эффективно вязкой жидкости, вторые - отражают турбулентный перенос (диффузию), в связи с чем они названы диффузионными. При этом структурные характеристики турбулентного циркуляционно-продольного течения в цилиндрической трубе в основном определяются тензором напряжений с виртуальной вязкостью радиального направления , то есть радиальными пульсациями скоростей.
5. Циркуляционно-продольный поток по длине трубы в силу диссипации механической энергии за счет вязкого трения и турбулентной диффузии формируется в течение со сложным «свободно-вынужденным вращением», описываемым разложением Фурье-Бесселя при ламинарном течении или законом, близким к «вихрю Бюргерса» - при турбулентном, при этом аксиальное падение азимутальных скоростей определяется экспоненциальной функцией. Придание продольно-осевому течению закрутки приводит к фундаментальной трансформации радиально-аксиального распределения продольных скоростей в нем; таким образом, продольная составляющая в циркуляционно-продольном течении приобретает свойства зависимого от распределения азимутальных скоростей вторичного течения. Радиальные профили осевых скоростей и их трансформации по длине трубы описываются произведениями рядов Фурье-Бесселя для ламинарного течения и интегральными показательными функциями для турбулентного потока.
6. Для циркуляционно-продольных течений сплошной среды характерно наличие возвратных токов в центральной приосевой зоне на участке, примыкающем к началу трубы, при этом возвратное приосевое течение формирует вокруг себя рециркуляционную зону; в потоках с вихревым жгутом область с возвратным течением и рециркуляционная зона отсутствуют. Для сплошных течений также характерно резкое нарастание положительных осевых скоростей в кольцевой зоне, непосредственно охватывающей область обратных токов, здесь имеет место поддерживающий баланс масс скачок осевых скоростей, не успевающий распространиться на более далекие от области возвратного течения периферийные слои; явление можно характеризовать как инициированную возвратным приосевым течением инерционную волну, концентрично расходящуюся от оси к стенкам водовода и затухающую по их достижении.
7. Анализ вихревой структуры вязкого циркуляционно-продольного течения в цилиндрической трубе позволяет сделать вывод, что поток во всей области движения является вихревым и, таким образом, не является потенциальным, не является он и винтовым, ибо не соответствует условию . Завихренность, генерируемая в приосевой зоне и имеющая на входе в проточный канал максимальное значение, распространяется с продвижением потока по аксиальной координате на все более обширную область, но подавляется, и периферийных слоев ближе к стенкам трубы или слоев на значительном удалении от входа достигает значительно ослабленной; генерирование вихрей в ламинарном течении происходит также вблизи твердых поверхностей, однако пристенные вихри на порядок менее значимы, чем внутренние.
8. Установлено, что концентрация значительных касательных и нормальных напряжений в циркуляционно-продольном течении имеет место на начальном участке трубы в приосевой зоне потока, здесь наблюдаются максимальные радиальные и аксиальные градиенты всех компонент скорости, здесь поток теряет наиболее существенную часть своей энергии.
9. На основе метода Рэлея и теории переноса звихренности Тейлора получен критерий локальной устойчивости циркуляционно-продольного течения к случайным возмущениям (критерий Рэлея), согласно которому устойчивость течения в его произвольной локальной области определяется знаком частной производной по радиусу произведения циркуляции на аксиальную компоненту вихря (): при положительном значении критерия центробежные силы стремятся подавить случайные возмущения, и циркуляционное течение в исследуемой области будет устойчивым, при отрицательном знаке - случайные возмущения нарастают и течение теряет устойчивость. Критерий Рэлея позволяет выделить в циркуляционно-продольном течении зоны генерации случайных возмущений и зоны их подавления; критическое значение числа Рэлея при ламинарно-турбулентном переходе соответствует
   
   

   jpg">.

10. Критерием устойчивости циркуляционно-продольного течения к смене формы движения от осесимметричной к асимметричной спиралевидной является число Ричардсона, равное частному от деления числа Рэлея на квадратичный инвариант тензора скоростей деформации (). В ламинарном течении можно выделить три области с различной степенью устойчивости: первая пролегает вдоль стенок трубы и характеризуется слабой неустойчивостью (), ниже по глубине в кольцевом сечении расположена область устойчивого () течения с подавлением случайных возмущений (вторая область), наиболее неустойчивой () является третья область - центральное вихревое ядро; в вихревом ядре, в свою очередь, выделяются три зоны: зона слабой неустойчивости в начале водовода, плавно переходящая в зону дестабилизации течения с нарастающей по мере стягивания к оси и продвижения вдоль трубы неустойчивостью, и зону потери устойчивости - тонкий вихревой шнур; потеря устойчивости вихревым шнуром влечет нарастание возмущений и в результате дестабилизацию течения в целом, проявляющуюся в смене осесимметричного течения спиралевидным. В турбулентном циркуляционно-продольном течении следует выделить две области: примыкающую к стенкам трубы периферийную область устойчивого () течения, сокращающуюся по мере продвижения по аксиальной координате, и концентрично расширяющуюся по той же координате область неустойчивого () внутреннего вихревого ядра закрученного потока, в свою очередь содержащего три зоны, аналогичные зонам вихревого ядра ламинарного течения с теми же свойствами, при неустойчивость распространяется на все сечение турбулентного потока; смена формы движения циркуляционно-продольного течения от осесимметричного к спиралевидному соответствует в области вихревого шнура.
11. Другим «классическим» циркуляционным течением, рассмотренным в диссертационном исследовании, является поверхностная вихревая воронка. Разработанная аналитическая модель такого течения позволяет рассчитать распределения всех компонент скорости (, , ) в поверхностной вихревой воронке, а также функции тока и потенциала , построить гидродинамическую сетку течения в радиальной проекции и профиль свободной поверхности воронки . Структурные характеристики в поверхностной вихревой воронке описываются суммами рядов Фурье-Бесселя и интегральными показательными функциями, а распределение окружных скоростей подчиняется экспоненциальному закону, близкому к «свободно-вынужден-ному вихрю Бюргерса», когда вблизи оси () жидкость вращается как «твердое тело», а на периферии распределение тангенциальных скоростей соответствует «свободному вихрю»; при этом течение в поверхностной воронке не является ни потенциальным, ибо , ни винтовым, т.к. .
12. Установлено, что профиль свободной поверхности вихревой воронки и ее глубина на оси вращения определяются интенсивностью генерирующей воронку циркуляции и значениями чисел Рейнольдса и Фруда . При этом условие, определяющее предотвращение прорыва воздушного жгута вихревой воронки через устье глубинного водоприемного отверстия в напорный водовод, выражается неравенством

.