авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

Метод оценки прочности хрупких материалов на основе градиентной теории

-- [ Страница 2 ] --

В таблице 1 в скобках указано повышение прочности за счет градиентного эффекта. Градиентный эффект для рассмотренной задачи в зависимости от выбранной исходной теории прочности составляет 17,3–18,9%. Отметим, что при большей неоднородности напряженного состояния он может быть намного выше. Максимальное различие между предлагаемым и исходным подходом В. Д. Харлаба составляет всего 1,3%. Как видно, разброс, обусловленный применением разных теорий прочности, выше, чем разница между исходным и предлагаемым подходом. При этом предлагаемый подход позволяет существенно упростить применение аппарата.

2) В случае сингулярного напряженного состояния многократное использование градиентного преобразования вместо специального преобразования, что дает новую формулу для проверки прочности. Предполагается, что прочность в сингулярных точках сохраняется (несмотря на бесконечно большие напряжения) за счет сильного градиентного эффекта. Предложено «сильный градиентный эффект» учитывать применением градиентного преобразования несколько раз. Использование регулярной части градиентной формулы (2) n раз применительно к сингулярной функции степенного вида

(10)

приводит к конечному значению S, численно равному значению функции при или в более общем случае нецелых n

, (11)

где – структурный параметр материала из градиентной теории, (x) – гамма-функция Эйлера. Другими словами, для оценки прочности в сингулярной точке, следует рассматривать некоторую регулярную точку на расстоянии r* от первой.

Примерами использования описанного подхода служат решения задач о действии на полупространство сосредоточенной силы (задача Буссинеска), о растяжении бесконечной плоскости с трещиной (задача Гриффитса). Далее в качестве примера рассматривается плоская задача о вдавливание в полупространство бесконечного штампа (аналог ленточного фундамента). Вдавливание происходит под действием погонной силы , штамп шириной 2l считается абсолютно жестким.

Рис. 2. Задача о вдавливании в полупространство жесткого штампа

В первом приближении рассмотрим распределение давления непосредственно под подошвой штампа. Оно определяется известной формулой:

. (12)

Здесь t – координата вдоль границы штампа и плоскости (начало отсчета в центре штампа). После замены переменной при давление оказывается бесконечным. Чтобы установить вид сингулярности, следует преобразовать знаменатель дроби, отбросив бесконечно малые величины второго порядка:

. (13)

Выражение (13) показывает, что в данной задаче имеет место сингулярность степенного вида (10) при n=0,5. Согласно исходной теории о прочности следует судить по условным напряжениям на расстоянии от сингулярной точки, а согласно предложению (11), – на расстоянии .

Если принять условие разрушения в виде p(r)=Rc, то разрушающая нагрузка выражается следующим образом:

. (14)

Полученную разрушающую нагрузку, отнесенную к площади штампа (в случае рассматриваемой плоской задачи – к ширине штампа), можно рассматривать как предел прочности материала на смятие Rloc. Таким образом:

. (15)

Подставляя в (15) значения r*, находим для исходного и модифицированного подходов соответственно

и .

Для анализа полученных результатов можно привлечь опытные данные из исследования С. К. Нийоги о смятии бетонных призм полосовой нагрузкой шириной 1,27 см (то есть l=0,635 см). При этом был использован бетон с максимальной фракцией крупного заполнителя 12,7 мм. В опытах К. А. Мальцова об изгибе бетонных балок, откуда можно определить структурный параметр бетона =6,7 см, этот размер равнялся 40 мм. Таким образом, можно предположить, что в опытах С. К. Нийоги =6,71,27/4,0=2,13 см.

С другой стороны формула Баушингера, включенная в СНиП и СП «Бетонные и железобетонные конструкции» для рассматриваемого случая дает соответственно

(16)

(17)

Здесь – площадь смятия (в нашем случае – площадь полосы бесконечной длины и шириной 2l); А – так называемая расчетная площадь, которую, опираясь на СНиП, можно принять как площадь бесконечной полосы шириной 6l.

Таким образом, используемая эмпирическая формула плохо согласуется с опытом. Теоретические же результаты требуют уточнения в связи с тем, что формула (12) не дает полного представления о напряженно-деформированном состоянии полупространства. Очевидно, следует рассмотреть полную картину напряжений. Поскольку нас интересуют только напряжения вблизи грани штампа, можно обратиться к формулам, полученным на основании сведений, приведенных в книге А. Надаи:

(18)

Здесь r и – полярные координаты у грани штампа. Главные напряжения имеют такой вид:

(19)

Вид сингулярности, как и следовало ожидать, остался прежним. В первом приближении воспользуемся теорией прочности Кулона-Мора. Для напряжений (19) условие разрушения запишется так:

(20)

Анализ выражения (20) показывает, что эквивалентное напряжение достигает максимума при =2/3. Выразив из (20) нагрузку и подставляя =2/3, получаем значение разрушающей нагрузки:

(21)

После подстановки в (21) значений r*, полученных ранее, и перехода к прочности на местное смятие получены результаты, представленные в таблице 2. В таблицу включено решение по теории Лебедева, не представленное здесь, а также результат, получаемый из применения градиентного подхода к задаче Фламана (задача о действии на полуплоскость сосредоточенной силы).

Таблица 2

Результаты определения предела прочности при местном смятии на основе задачи о жестком бесконечном штампе
Метод вычисления Rloc/Rc
В общем виде =2,13 см, l=0,635 см
Исходный подход Предлагаемый подход Исходный подход Предлагаемый подход
Теория Кулона-Мора (21) 2,22 2,78
Теория Лебедева 2,49 3,11
Задача Фламана 0,785/l 2,63
Опыты С.
К. Нийоги
3,33
Формула Баушингера (16) 1,44
Формула Баушингера (17) 1,39

Из таблицы 2 видно, что предлагаемый подход дает результаты более близкие к опытным данным. Следует отметить условность определения параметра из-за отсутствия данных об испытаниях рассматриваемого бетона на изгиб. При этом расхождение (3,33-3,11)/3,33100%=6,6% выглядит допустимым. Что касается результата, полученного из решения задачи Фламана, он и должен быть занижен, так как действие условной сосредоточенной силы представляется более опасным, чем давление штампа.

3) Способ проверки прочности в случае сингулярных функций нестепенного вида. При попытке распространения предлагаемого подхода на другие виды сингулярности можно заметить, что результат (11) может быть получен из совместного решения уравнений

(22)

для сингулярности степенного вида (10). – вспомогательный безразмерный параметр. Предлагается использовать (22) для нахождения r* и при других видах сингулярных функций. Уравнения (22) используются следующим образом. Сначала из первого уравнения следует найти вспомогательную величину . Затем, подставив ее во второе уравнение, определить искомое значение r*. Отметим, что совокупность уравнений (22) является аналогом определяющего r* уравнения из теории В. Д. Харлаба. Величины r*, определенные по исходной теории и из (22), отличаются тем сильнее, чем «дальше» n от единицы. При n=1 результаты двух подходов совпадают.

В диссертационной работе приводится решение задачи об изгибе круглой пластинки сосредоточенной силой, иллюстрирующее применение уравнений (22).

4) Способ проверки прочности в точках тела, где напряженное состояние описывается расходящимися рядами. Поскольку для многих задач теории упругости решения получены в виде рядов, вопрос о напряжениях в точках, где ряд расходится, является важным. К таким задачам относятся, например, задача об изгибе прямоугольной пластинки сосредоточенной силой и задача о кручении стержня с сечением в виде сектора круга. Рассматривая их, следует определить, каков физический смысл расходимости ряда применительно к задачам теории упругости. Предположительно это явление связано с некоторой особенностью, имеющейся в конкретной точке тела. Эта особенность для каждого конкретного случая может быть выражена в виде сингулярной функции: степенного вида, логарифмической или комбинированной. Другими словами можно сказать, что за расходящимся рядом «скрывается» некоторая сингулярная функция, вид которой следует установить. После определения вида сингулярной функции к задаче можно применить предлагаемый подход (10)–(11), (22). Например, при кручении стержней с сечениями, имеющими входящие углы, напряжения в вершинах этих углов оказываются бесконечными. Для определения вида сингулярности в данном случае можно прибегнуть к рассуждениям, изложенным в книге о кручении Б. Л. Абрамяна и Н. Х. Арутюняна. Рассматривается некоторый угол поперечного сечения стержня, подверженного кручению (см. рисунок 3).

Рис. 3. Система координат вблизи угла сечения стержня, подверженного кручению

Вводятся полярные координаты r и , связанные с вершиной этого угла. Касательные напряжения вычисляются по известным формулам:

, (23)

где G – модуль сдвига, – погонный угол закручивания, U(r,) – функция напряжений, удовлетворяющая уравнению Пуассона

(24)

и граничным условиям

. (25)

После определения постоянных в общем решении уравнения (24) из условия ограниченности функции U(r,) и из граничных условий (25) функции напряжений записывается в следующем виде:

. (26)

Для определения касательных напряжений следует воспользоваться выражениями (23):

(27)

В вершине входящего угла, то есть при r=0 и > , в формулах (27) первое слагаемое, а также все члены ряда, кроме первого, равны нулю. Таким образом, напряжения в вершине угла сводятся к следующему виду:

(28)

что соответствует сингулярности степенного вида (10) при . Поскольку формулы (28) получены для общего случая, можно утверждать, что при кручении стержней любых сечений вид сингулярности во входящих углах будет соответствовать (28). Для оценки напряжений в данном случает согласно подходу (11), описанному выше, следует «отступить» от вершины угла на величину по направлению градиента поля напряжений.

Описанный прием демонстрируется на примере решения задачи о кручении стержня с сечением в виде сектора круга. Рассматривается стержень с сечением в виде сектора круга радиусом R и углом . Стержень подвержен кручению на погонный угол .

В рамках данной работы интерес представляют углы >, так как в этом случае напряжения в центральной точке угла оказываются бесконечными. Согласно решению, приведенному в книге Арутюняна и Абрамяна, напряжения имеют следующий вид:

 (29) где оказано-61 (29)

где На рисунке 4 показано распределение напряжений по формулам (29) для сектора круга с углом 240°. Значения приведены в долях от GR. Из эпюр напряжений видно, что в сечении можно выделить две опасные точки: регулярную (точка A) и сингулярную (точка O). На практике в точке O обычно выполняется закругление, исключающее появление больших напряжений, и опасной считается точка A. Ставится задача оценить прочности в точке O без закругления.

Рис. 4. Распределение напряжений при кручении стержня с сечением в виде сектора круга

Как было сказано, при r=0 (точка O) имеет место сингулярность. Выше в (23)–(28) показано, что при кручении напряжения во входящих углах сечения соответствуют сингулярности степенного вида (10) при . Для оценки прочности в данном случае согласно предлагаемому подходу, следует «отступить» от вершины угла на величину по направлению градиента поля напряжений, то есть вдоль оси симметрии сечения. На оси симметрии и . По исходному подходу В. Д. Харлаба .

В таблице 3 приведены значения напряжений в опасных точках в долях от GR для некоторых углов . Параметр =6,7 см (что соответствует тяжелому бетону). Вычисления проводились для R=1 м. Как видно из таблицы, напряжения во входящем угле (точка O) значительно превышают напряжения в центре дуги контура сечения (точка A), что и следовало ожидать. Модифицированный подход дает результат на 26,5% меньше, чем исходный подход. К сожалению, опытные данные для этого случая автору не известны. Однако ценность представляет уже тот факт, что путь получения решения вопроса о прочности в случае расходящихся рядов указан. При этом необходимость дальнейших исследований в данном направлении сохраняется.

Таблица 3

Угол
Точка А (r=R, =/2) Точка O (r=0, =/2)
Исходный подход Модифицированный подход
/3 (60°) 0,452 0 0
/2 (90°) 0,559 0 0
4/3 (240°) 0,784 1,505 1,107
3/2 (270°) 0,805 1,635 1,202

Практический интерес представляют сечения в виде уголка, тавра, двутавра и т. п. Выражения напряжений для них также получены в виде рядов. Как и в рассмотренной задаче о кручении стержня с сечением в виде сектора круга, во входящих углах ряды расходятся. Устранить этот недостаток позволяет предлагаемый подход.

Заключение

Подытоживая диссертационное исследование, можно сказать следующее. Предложена модификация градиентной теории хрупкого разрушения В. Д. Харлаба, включающая в себя:

1. Использование градиентного преобразования каждого главного напряжения в отдельности вместо преобразования сложного выражения эквивалентного напряжения (с последующей подстановкой преобразованных напряжений в то или иное классическое выражение эквивалентного напряжения). Это значительно упрощает процедуру применения градиентной теории.

2. Новый способ перехода от регулярной ситуации к сингулярной, приводящий к новой формуле для нахождения точки проверки прочности. Этим обеспечивается единообразие рассмотрения регулярных и сингулярных точек, что снимает некоторую искусственность, присутствующую в рамках исходной теории.

3. Подход, позволяющий осуществлять проверку прочности в точках, где напряжения описываются расходящимися рядами. Это распространяет теорию на новые задачи.

Основной вывод, вытекающий из проделанной работы, состоит в том, что модифицированная теория хрупкого разрушения является достаточно обоснованной и как таковая может широко применяться в теоретических и практических расчетах. В частности, она может оказаться полезной в теории железобетона для определения момента образования трещин с учетом градиентного эффекта или при обработке результатов вычисления напряжений (часто имеющих сингулярные особенности) в компьютерных программах, реализующих упругий метод расчета.

список работ, опубликованных по теме диссертации

Публикации в рецензируемых изданиях, включенных в список ВАК РФ:

  1. Харлаб В. Д. Развитие градиентной теории прочности (I) / В. Д. Харлаб, П. В. Садиков // Вестник гражданских инженеров – 2007. – №4 (13). – С. 26-30.
  2. Садиков П. В. Развитие градиентной теории прочности (II) / П. В. Садиков // Вестник гражданских инженеров – 2011. – №2 (27). – С.82-86.
  3. Садиков П. В. Новое предложение к проверке прочности в сингулярных точках тела / П. В. Садиков // Вестник гражданских инженеров – 2011. – №4 (29). – С.64-68.

Публикации в других изданиях:

  1. Садиков П. В. Об учете градиентного эффекта прочности / П. В. Садиков // Актуальные проблемы современного строительства: Сборник докладов / СПбГАСУ. – СПб., 2006. – С. 101–106.
  2. Садиков П. В. Модифицированный подход к учету градиентного эффекта прочности / П. В. Садиков // Сборник докладов победителей конкурса грантов 2007 г / СПбГАСУ. – вып. 3. – СПб., 2008. – С. 17-22.
  3. Садиков П. В. О проверке прочности в сингулярных точках / П. В. Садиков // Актуальные проблемы современного строительства: 64-я Международная научно-техническая конференция молодых ученых. / СПбГАСУ. – Ч. 1. – СПб., 2011. – С. 101–104.


Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.