Устойчивость пологих складчатых оболочек при больших перемещениях

На правах рукописи

Поварова Ирина Борисовна

ПРИ БОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

Специальность 05.23.17 – Строительная механика

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Санкт – Петербург

2008

Диссертационная работа выполнена в Государственном общеобразовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения»

Научный руководитель: доктор технических наук

Кондратьева Лидия Никитовна

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Ильин Владимир Петрович

кандидат технических наук, доцент

Видюшенков Сергей Александрович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет

Защита состоится « 6 » ноября_2008г. в 1600 час. на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.223.03 при ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, д.4, зал заседаний.

Факс (812) 316-58-72

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат диссертации размещен на официальном сайте ГОУ ВПО СПбГАСУ ( http://spbgasu.ru )

Автореферат разослан « 2 » октября 2008 года

Ученый секретарь

совета по защите докторских

и кандидатских диссертаций Л.Н.Кондратьева

Актуальность проблемы. Пространственные конструкции, образованные из тонких плит, нашли широкое применение в строительстве для перекрытия больших площадей без сооружения промежуточных опор. Неоспоримыми преимуществами складчатых оболочек перед гладкими являются простота изготовления плоских плит-граней оболочки в заводских условиях, индустриальные методы монтажа, удобство эксплуатации подвесного транспорта в перекрываемом пространстве, повышенная жесткость конструкции и многие другие.

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что расчеты оболочек на устойчивость по линейной теории дают завышенные значения критических нагрузок. Дальнейшие исследования в области устойчивости оболочек развивались по пути учета перемещений, сравнимых с толщиной, что привело к геометрически нелинейным задачам. Решение таких задач сопровождается значительными математическими трудностями, поэтому тема диссертации, посвященная решению геометрически нелинейной задачи об устойчивости такого типа оболочек – актуальна.

Цель работы – разработать методику аналитического расчета на устойчивость складчатых пологих оболочек, изгибаемых поперечной нагрузкой, в геометрически нелинейной постановке.

Научная новизна:

- разработана методика исследования устойчивости пологих складчатых оболочек в геометрически нелинейной постановке, которая приводит к достаточно простому, эффективному и удобному для программирования алгоритму;

- исследована устойчивость некоторых пологих складчатых оболочек при больших перемещениях;

- разработаны практические рекомендации по оценке устойчивости складчатых оболочек при поперечном изгибе.

Практическое значение результатов диссертации. Научные результаты исследований, полученных в диссертации, дают возможность решать задачи устойчивости пологих складчатых оболочек с изломами поверхности в двух направлениях в геометрически нелинейной постановке, используя полученные формулы и аналитические выражения.

Достоверность результатов подтверждается использованием в диссертации теоретически обоснованных методов строительной механики, соответствием результатов расчета, полученных в работе, с известными экспериментальными исследованиями из литературных источников.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: научные семинары кафедры «Прочность материалов и конструкций», ПГУПС, С-Пб., 2006-2008 г.г.; научные семинары кафедры «Конструкций из дерева и пластмасс», СПбГАСУ; 64-я научная конференция профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета СПбГАСУ, С-Пб., 2007 г.; 60-я международная научно-техническая конференция молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов СПбГАСУ, С-Пб., 2007 г.; научный семинар кафедры «Инженерных наук и технологий» ИНЖЭКОН, С-Пб., 2007 г.; научный семинар кафедры «Сопротивление материалов и теории упругости», Петербургский институт машиностроения, С-Пб., 2007 г.; VII Международная конференция «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте», ПГУПС, С-Пб., 2008 г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 статьях и тезисах докладов. Три статьи – в научных журналах по Перечню изданий ВАК.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Содержит 104 страницы текста, включая 11 рисунков, 2таблицы. Библиография – 162 наименования.

К первым работам в области упругой устойчивости гладких оболочек в линейной постановке задачи следует отнести статьи Р. Лоренца, Р.В. Саутвелла и С.П. Тимошенко об устойчивости круговой замкнутой цилиндрической оболочки, подвергающейся действию равномерного наружного давления и продольного сжатия, опубликованные в начале прошлого века.

Подробный обзор по вопросу упругой устойчивости гладких оболочек в линейной постановке приведен в монографии А.С. Вольмира. В монографии Х.М. Муштари и К.З. Галимова изложены общие вопросы геометрически нелинейной теории для исследования устойчивости гладких оболочек.

Основой для решения геометрически нелинейных задач устойчивости пологих оболочек при поперечном изгибе являются нелинейные дифференциальные уравнения Т. Кармана - Л. Доннела, полученные ими для тонких пластинок и обобщенные В.З. Власовым для пологих оболочек. В работах И.Е. Милейковского и И.П. Гречанинова геометрически нелинейная задача об устойчивости прямоугольных в плане пологих оболочек решается в перемещениях.

Большой вклад в развитие и совершенствование методов расчета призма-

тических складчатых оболочек внесла известная научная школа В.З. Власова. Им также был разработан и применен вариационный метод расчета, названный впоследствии методом Власова-Кантаровича. Дальнейшее развитие теория расчета призматических складчатых оболочек получила в трудах И.Е. Милейковского и Б.С. Василькова, предложивших способ расчета с применением метода перемещений, который получил широкое использование в практике проектирования. Существенный вклад в развитие аналитического метода для расчета оболочек с разрывными параметрами, основанного на применении обобщенных функций, сделан Б.К. Михайловым, И.Е. Милейковским, С.П. Трушиным, Я.Ф. Хлебным и другими учеными.

В статье В.Д. Вайнберга и И.З. Ройтфарба рассмотрена потеря устойчивости в линейной постановке прямоугольной в плане призматической складчатой оболочки, состоящей из плоских элементов при действии продольных сжимающих сил. В работах Л.Н. Кондратьевой решена геометрически нелинейная задача устойчивости призматических оболочек.

Автору данной диссертации не удалось обнаружить в литературных источниках работы, посвященные решению задач об устойчивости складчатых пологих оболочек в геометрически нелинейной постановке с изломами срединной поверхности в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Вторая глава посвящена составлению разрешающих дифференциальных уравнений геометрически нелинейной теории устойчивости при изгибе прямоугольных в плане тонких пологих оболочек с изломами срединной поверхности в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис.1).

Рис.1. Геометрия складчатой оболочки

Уравнения составлены с учетом гипотез Кирхгофа-Лява и допущений, принятых для пологих оболочек.

В диссертации рассматриваются оболочки положительной гауссовой кривизны, для которых стрела подъема не превышает одной пятой наименьшего линейного размера f/a 1/5; f/b 1/5.

Главные кривизны рассматриваемой оболочки представлены в виде условных кривизн, выраженных через -функцию Дирака:

где ai, bj – углы изломов срединной поверхности оболочки по направлениям осей х и y; a, b – размеры оболочки в плане; к, l – число изломов по направлениям осей х и y; – дельта-функция Дирака; х, y – текущие координаты; хi, yj – координаты точек изломов.

Разрешающие уравнения равновесия и совместности деформаций для рассматриваемых оболочек, загруженных нормальной распределенной нагрузкой q(x, y), примут вид:

(1)

где W – функция нормального прогиба оболочки; – функция напряжений, определяемая выражениями:

, , ;

D – цилиндрическая жесткость; Е –модуль упругости; h – толщина оболочки; – бигармонический оператор Лапласа, .

Третья глава посвящена решению геометрически нелинейной задачи об устойчивости и исследованию устойчивости оболочки.

Оболочка загружена поперечной нагрузкой интенсивностью q(x, y) и опирается на бортовые элементы по контуру, представляющие собой диафрагмы, жесткие в своей плоскости.

при х = 0 и х = a имеем W = 0, , ,

(2)

при y = 0 и y = b имеем W = 0, , ,

Задача определения критической нагрузки решается с применением метода Бубнова-Галеркина, где аппроксимирующие функции представлены в виде двойных тригонометрических рядов, удовлетворяющих граничным условиям (2):

(3)

Задача решается в первом приближении путем подстановки в уравнения (1) первых членов рядов (3) и выполнения процедуры метода Бубнова-Галеркина.

После некоторых математических преобразований и подстановки значения цилиндрической жесткости D, получена нелинейная зависимость между нагрузкой q и прогибом W11 в середине оболочки (при и ), которая в безразмерной форме принимает вид:

(4)

где введены следующие обозначения: безразмерный параметр нагрузки ; отношение сторон оболочки ; прогиб в середине оболочки при , ; безразмерные параметры приведенной условной кривизны

(5) В частном случае оболочки с квадратным планом, т.е. при a = b и = 1,

нелинейная зависимость (4) принимает вид:

. (6)

При увеличении количества граней складчатой оболочки ее срединная поверхность стремится к поверхности гладкой оболочки положительной гауссовой кривизны, а параметры условной кривизны (5) стремятся в пределе к параметрам главных кривизн гладкой оболочки:

, , где ,, ,

kx, ky – главные кривизны гладкой оболочки положительной гауссовой кривизны.

В результате математических преобразований (6) переходит в известную нелинейную зависимость А.С. Вольмира для гладких оболочек:

.

Для квадратной в плане складчатой оболочки, соответствующей

вписанной в ее поверхность гладкой сферической оболочке, при

из (6) получено выражение:

. (7)

Для квадратной в плане призматической оболочки получена зависимость «q* - W*», использованная в работах Л.Н. Кондратьевой:

.

На рис.2 приведена графическая зависимость между нагрузкой и параметром прогиба «q* - W*» для квадратных в плане оболочек с различным количеством изломов срединной поверхности (к) и параметрами условной кривизны, определяемых по (5). Штриховой линией показана зависимость «q*-W*», приведенная в книге А.С. Вольмира для гладкой сферической оболочки с параметрами кривизны и , к срединным поверхностям которых стремятся рассмотренные складчатые оболочки.

Рис. 2. Графики «q* - W*» для квадратных в плане складчатых оболочек

Из этих графиков видно, что разница в значениях критической нагрузки между складчатой оболочкой с изломами и соответствующей по размерам гладкой растет по мере увеличения кривизны, и в данном случае достигла 20%.

Для оболочки на прямоугольном плане с отношением сторон =1, параметры условной кривизны равны:

.

Сумму параметров приведенной условной кривизны выразим следующим образом:

, где .

Подставив суммарную приведенную условную кривизну в равенство (4), получим нелинейное соотношение между параметром нагрузки q* и относительным прогибом W* для складчатой оболочки, построенной на основе сферической поверхности при любых значениях :

(8)

Исследуя на экстремум соотношение (8), можно найти значение , соответствующее наибольшей возможной нагрузке, при которой оболочка теряет устойчивость при поперечном изгибе. Отсутствие максимума нагрузки означает, что оболочка не теряет устойчивость, а лишь деформируется с нарастанием прогиба в центре при росте нагрузки.

В результате приходим к алгебраическому квадратному уравнению, решая которое, получим значение , соответствующее экстремальной величине параметра нагрузки :

(9)

Величина наименьшего значения параметра суммарной кривизны , определяющее понятие очень пологой оболочки, определяется из равенства нулю подкоренного выражения (9):

. (10)

Если суммарная кривизна оболочки равна или меньше этого параметра , оболочка устойчивость не теряет, а деформируется при изгибе как тонкая плита. Соответствующий график «q* - W*» имеет точку перегиба.

Исследуя вторую и третью производную соотношения (8), приходим к выводу, что необходимое и достаточное условия существования точки перегиба кривой зависимости «нагрузка – прогиб в центре» выполняются. При этом величина относительного прогиба , соответствующая точке перегиба, определяется из (9) при равенстве нулю подкоренного выражения

=, (11)

а нагрузка , соответствующая этой точке, определяется из (8):

(12)

Из графиков на рис.3, построенных по соотношению (8), при базовых параметрах кривизны =16,9; 20 и 24, можно сделать выводы:

Рис.3. Графики зависимости «нагрузка – прогиб в центре» для складчатых оболочек

при = 1

1. – пограничный тип оболочек между тонкой пологой оболочкой и слабо искривленной тонкой плитой.

2. – приводит к образованию максимума кривой «», т.е. к потере устойчивости оболочки с образованием выхлопа при .

3. – приближает кривую к монотонной зависимости «», характерной для тонких плит.

В таблице 1 приведены данные для оболочек с теми же значениями и с разными отношениями = 1; 1,3 и 1,5.

Анализ таблицы 1 показывает:

1. Для каждого значения имеет место свое предельное значение , определяющее пограничный тип складчатой пологой оболочки.

2. С увеличением параметра истинные размерные значения критических нагрузок уменьшаются, т.е. наиболее устойчивой при поперечной нагрузке является складчатая пологая оболочка с квадратным планом (при = 1).

Таблица 1

Зависимость критической нагрузки от соотношения сторон