Деформирование пологих ребристых оболочек в условиях физической нелинейности и ползучести бетона

Рассматривается алгоритм расчета НДС пологих железобетонных ребристых оболочек с учетом нелинейности деформирования и ползучести материала. Уравнения равновесия таких оболочек с учетом нелинейности деформирования и возможности развития деформаций ползучести представляют собой громоздкую систему интегро-дифференциальных уравнений восьмого порядка. Решение такой задачи вызывает серьезные математические трудности.

Наиболее удобный алгоритм решения поставленной задачи состоит в следующем: к функционалам или , записанным в безразмерных параметрах, применяется метод Ритца и находится система нелинейных интегро-алгебраических или нелинейных алгебраических уравнений, соответственно. Нелинейность уравнений заключается в том, что напряжения нелинейно зависят от деформаций.

Применяется методика решения задачи, основанная на методе итераций:

• для уточнения начального упруго-линейного решения и получения нелинейно-упругого решения при каждом значении параметра нагрузки;
• для нахождения деформаций ползучести при каждом значении параметра нагрузки и известном начальном решении линейно-упругой задачи при последовательном изменении времени

Введем безразмерные параметры:

В соответствии с методом Ритца представим искомые функции , , в виде:

(16)

Здесь неизвестные функции переменной t; известные аппроксимирующие функции переменной , удовлетворяющие при , заданным краевым условиям; известные аппроксимирующие функции переменной , удовлетворяющие при , заданным краевым условиям.

2. Найдем производные от или по , , и приравняем их к нулю. В результате получим систему нелинейных интегро-алгебраических или нелинейных алгебраических уравнений:

(17)

,

где , если решается физически-нелинейная задача, или , если решается задача ползучести. При этом

(18)

(19)

где , , , ,

, , , .

Кратко систему (17) запишем в виде:

или (20)

где – левые части системы (17);

Для линейно-упругой задачи находим решение уравнения при :

(21)

Для нахождения нелинейно-упругого решения при нагрузке решается итерационная задача до тех пор, пока предыдущее решение не будет отличаться от последующего на величину заданной погрешности. При этом за берется решение линейно-упругой задачи при .

Рассмотрим решение задачи в условиях ползучести. Представим в виде:

. (22)

Отрезок интегрирования разобьем на частичные отрезки с шагом (в дальнейшем шаг по t будем брать = 1 сутки).

= (23)

На каждом частичном отрезке интеграл вычислим приближенно по формуле прямоугольников

(24)

Обозначим , .

Таким образом, при будет иметь вид:

= (25)

Аналогичный подход с заменой интеграла интегральной суммой при расчете оболочек использовался в работах В.И. Климанова и С.А. Тимашева, В.В. Карпова, В.К. Кудрявцева, В.М. Жгутова.

При решении задачи ползучести при определенной нагрузке вначале находится решение линейно-упругой задачи Затем это решение подставляется в и решается опять-таки линейно-упругая задача с известной правой частью в линейных алгебраических уравнениях. Итерационный процесс по временной координате t можно записать в виде:

. (26)

Процесс по временной координате продолжается до тех пор, пока прогиб не начнет резко возрастать. Время, при котором это происходит, будет определено как критическое время .

Разработанный алгоритм расчета реализован в виде программного комплекса для ЭВМ [Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, № 2011613074 PologObolochka, 18 апреля 2011 г.].

3. Определение допускаемой нагрузки на пологие железобетонные ребристые оболочки из разных классов бетона из условия прочности.

Рассматривается прочность пологих железобетонных ребристых оболочек при линейно-упругом деформировании.

Так как все решения целесообразно проводить в безразмерных параметрах, в табл. 1 представлены размерные параметры для некоторых реальных вариантов оболочек и соответствующие им безразмерные параметры. Используя формулы перехода от безразмерных параметров к размерным, можно получить все характеристики НДС для конкретных вариантов оболочек и конкретных классов бетона.

В табл. 1 принято , , .

Таблица 1. Варианты рассматриваемых оболочек и их параметры

№ варианта оболочки	Размерные параметры, м			Безразмерные параметры			Стрела подъема
I	54 36 27 18	135,9 90,6 67,95 45,3	0,09 0,06 0,045 0,03	600	1510	238	29,75h
II	36 27 18	90,6 67,95 45,3	0,18 0,135 0,09	200	503	79,5	10h
III	27 18 13,5	67,95 45,3 34	0,27 0,18 0,135	100	251,5	39,76	5h

В качестве примеров расчета были выбраны квадратные в плане пологие оболочки, имеющие шарнирно-неподвижное закрепление по контуру и находящиеся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки.

Оболочки могут быть гладкими (без ребер) или подкрепленными, например, 6 (по три ребра в каждом направлении) или 18 (по девять ребер в каждом направлении) регулярно расположенными ребрами жесткости высотой и шириной , направленными параллельно осям координат.

На рис. 2 в качестве примера c результатами расчета представлен график «нагрузка - прогиб » для оболочки варианта III.

Рис. 2. Зависимость «–» для оболочек варианта III

Кривые с номером 1 на рис. 2 соответствуют оболочке без ребер, кривые 2 – оболочке, подкрепленной 6 ребрами, 3 – то же, подкрепленной 18 ребрами. Кривые без индекса соответствуют прогибу в центре оболочек, кривые с индексом 1 – прогибам в четверти оболочки.

Как показали расчеты, наличие ребер в оболочках существенно понижает величину их прогиба. При подкреплении оболочки 18 ребрами снижение ее прогибов, по сравнению с прогибами оболочки без ребер, при одной и той же нагрузке, составляет для вариантов оболочек: варианта I – на 55 %, варианта II – на 65 %, варианта III – на 40 %.

Для анализа прочности бетона оболочек применяется условие прочности (критерий прочности) теории Кулона – Мора, как наиболее приемлемое для использования в программном комплексе расчета оболочек

(27)

где главные напряжения находятся при (на верхней поверхности оболочки), размерное допускаемое напряжение может быть вычислено по формуле Коэффициент запаса прочности принимается .

С использованием формулы перехода к безразмерным параметрам для напряжения найдены безразмерные значения допускаемых напряжений для различных вариантов оболочек при разных классах бетона. Выборочные значения приведены в табл. 2.

Таблица 2. Допускаемые напряжения для различных классов бетона

Класс бетона	Модуль упругости бетона Е, МПа	Безразмерные значения допускаемых напряжений для оболочек вариантов
		I	II	III
В55	4 104	7,2	0,8	0,2
В40	3,6 104	7,0	0,78	0,19
В30	3,25 104	6,65	0,74	0,18

Допускаемая нагрузка находится из условия потери прочности бетона оболочек с использованием формулы перехода . В табл. 3 представлены некоторые результаты расчета допускаемых нагрузок для оболочек вариантов I, II, III (в скобках безразмерные допускаемые нагрузки ).

Как видно из табл. 3, допускаемые нагрузки, найденные из условий прочности, существенно ниже, чем критические нагрузки при потере устойчивости оболочки. Нагрузки, найденные из условия потери устойчивости для оболочек варианта I, cоставляют: для гладкой оболочки = 70100, для оболочки, подкрепленной 18 ребрами – = 160500. Например, для оболочек варианта I допускаемая нагрузка составляет 20% от критической нагрузки для гладкой оболочки и 16% для оболочки, подкрепленной 18 ребрами. Таким образом, учитывать геометрическую нелинейность при исследовании железобетонных оболочек нецелесообразно.

Таблица 3. Допускаемые нагрузки для рассматриваемых оболочек

Номер варианта оболочки	Число ребер	103, МПа ()
		для бетона класса В55	для бетона класса В40	для бетона класса В30
I	0 6 18	1,80 (5832) 3,11 (10076) 4,44 (14386)	1,56 (5616) 2,72 (9792) 3,89 (14004)	1,33 (5304) 2,33 (9291) 3,34 (13319)
II	0 6 18	4,13 (1652) 6,40 (2560) 13,33 (5332)	3,63 (1613) 5,62 (2498) 11,70 (5200)	3,10 (1526) 4,80 (2363) 10,0 (4923)
III	0 6 18	6,67 (167) 10,67 (267) 21,33 (533)	5,70 (158) 9,12 (253) 18,24 (507)	4,87 (150) 7,80 (240) 15,60 (480)