авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

Развитие метода интерполяции по отношению конформных радиусов для решения задач поперечного изгиба пластинок

-- [ Страница 2 ] --

С целью дальнейшего использования указанных кривых построены аппроксимирующие функции в виде полиномов. Для простых фигур эти полиномы удовлетворяют точным решениям с погрешностью, не превышающей 0,1%, для областей сложных форм с погрешностью до 1,7%.1 Например, для правильных n-угольников (рисунок 1) построена аппроксимирующая функция

, (4)

где a = 1,0000; b = 0,01347; c = –0,3381; d = –1,9500; e = –9,7087;
n – число сторон.

В этой же главе приводятся общие сведения о коэффициенте формы Кf плоской области, основные известные формулы для его определения, графики изменения некоторых областей при их геометрических преобразованиях, основные свойства и изопериметрические теоремы.

Коэффициент формы Kfa плоской области с произвольным выпуклым контуром (рисунок 3, а) определяется интегралом:

, (5)

где ds – линейный элемент контура; h – перпендикуляр, опущенный из точки а на касательную, проведенную к переменной точке контура.

а)
б)

Рисунок 3 – К определению Kfa

Рисунок 4 – Кривые «отношение конформных радиусов – коэффициент формы» ()

Для областей с полигональным контуром (рисунок 3, б) из выражения (5) получим:

, (6)

где n – количество сторон многоугольника, а остальные обозначения указаны на рисунке.

В любой выпуклой области существует единственная точка a, для которой коэффициент формы минимален Kf = min Kfa, именно такие значения коэффициента формы и используются в методе интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ).

На рисунке 4 исследуется графически функциональная связь отношения конформных радиусов с коэффициентом формы Kf, где точки 3, 4, 6, 8 соответствуют правильным 3-х, 4-х, 6-ти, 8-угольникам, точка О – кругу. На основе этих зависимостей получены аналитические выражения для определения отношения конформных радиусов некоторых областей сложных форм, для которых в математической и соответствующей справочной литературе не приводятся каких-либо сведений.

В третьей главе кратко излагаются известные теоретические основы и сущность МИКФ, приводится его математическая модель. Метод основан на использовании физико-геометрической аналогии интегральных физических характеристик (ИФХ) в задачах технической теории пластинок (в их числе максимальный прогиб) с интегральной характеристикой их формы – коэффициентом формы. Сущность метода заключается в выборе некоторого геометрического преобразования, объединяющего заданную пластинку и две другие («опорные» пластинки), значения ИФХ для которых известны либо их можно получить другими методами («опорные» решения). В координатных осях «ИФХ – коэффициент формы» эти решения образуют некоторую кривую, для описания которой предложены две достаточно простые интерполирующие функции: линейная и степенная. Функции объединяют все множество значений ИФХ для пластинок, соответствующих выбранному геометрическому преобразованию. Единственным аргументом этих функций, определяющим значение ИФХ в общем виде, является коэффициент формы. Подставляя в них значение коэффициента формы для заданной пластинки, определяют искомое значение ИФХ. Выбор геометрического преобразования существенно влияет на точность получаемых решений, поэтому одной из основных задач при использовании МИКФ является поиск наиболее рациональных геометрических преобразований.

Далее в этой же главе исследуется возможность использования методики МИКФ с заменой коэффициента формы на отношение конформных радиусов. Устанавливается аналитическая связь максимального прогиба w0 при поперечном изгибе пластинок с отношением конформных радиусов в виде зависимости

, (7)

где kw – функциональная константа, зависящая от вида граничных условий, которая обращается в числовую константу при выбранном геометрическом преобразовании заданной пластинки к «опорным» пластинкам; q – интенсивность равномерно распределенной по всей площади нагрузки; А – площадь пластинки; D – цилиндрическая жесткость. Из этого выражения следует, что при заданных параметрах q, А, D и граничных условиях пластинки отношение выступает в качестве единственного аргумента, однозначно определяющего максимальный прогиб пластинки. Другими словами, отношение конформных радиусов, как и коэффициент формы, является геометрическим аналогом максимального прогиба в задаче поперечного изгиба пластинок. Это означает, что можно, не решая дифференциального уравнения, описывающего задачу поперечного изгиба пластинок

, (9)

а рассматривая лишь геометрическую задачу, связанную с анализом поведения отношения при геометрических преобразованиях исследуемых пластинок можно оценивать и качественную, и количественную стороны решаемой задачи.

Как и в методе интерполяции по коэффициенту формы, при использовании в качестве аргумента отношения конформных радиусов все множество значений максимального прогиба пластинок, представленное в координатных осях «максимальный прогиб – отношение конформных радиусов», оказалось ограниченным с двух сторон: верхнюю границу образуют значения максимального прогиба для многоугольных пластинок, все стороны которых касаются вписанной окружности, а нижнюю – значения kw для эллиптических пластинок при и для прямоугольных при ; для произвольных четырехугольных пластинок нижнюю границу образуют значения kw прямоугольных пластинок. Для шарнирно опертых пластинок с криволинейными участками контура указанная закономерность сохраняется для каждого отдельно взятого значения коэффициента Пуассона.

С учетом этой закономерности для расчета произвольных четырехугольных пластинок необходимо построить указанные граничные кривые, соответствующие пластинкам в виде равнобедренных треугольников, ромбов и прямоугольников.

Для пластинок с полностью защемленным контуром или полностью шарнирно опертым контуром такие кривые построены с учетом известных точных решений, приводимых в научной и справочной литературе, а также решений, полученных с помощью МКЭ (с числом КЭ не менее 1000) в программном комплексе «SCAD». На рисунке 6, а изображены кривые «максимальный прогиб жестко защемленных пластинок – отношение конформных радиусов», где точкам 3, 4, 6 соответствуют правильные 3-х, 4-х и 6-угольные пластинки; точке 3' – пластинка в виде равнобедренного прямоугольного треугольника; точке О – круглая пластика. Как видно из приведенных графиков, значения максимального прогиба для правильных n-угольных и круглой пластинок, пластинок в виде произвольного треугольника и ромба сливаются в одну кривую (рисунок 7). Это объясняется тем, что площади A указанных фигур выражаются через внутренний и внешний конформные радиусы единой зависимостью:

. (10)

Это изопериметрическое свойство указанных форм пластинок можно рассматривать как новую фундаментальную закономерность в задаче поперечного изгиба пластинок.

а)
б)
а) максимальный прогиб – отношение конформных радиусов б) максимальный прогиб – коэффициент формы

Рисунок 6 – Сравнительный анализ граничных кривых для жестко защемленных пластинок

Сопоставление граничных кривых, приведенных на рисунке 6, показывает, что область значений максимальных прогибов, заключенных между граничными кривыми, при использовании отношения конформных радиусов почти в 2 раза уже, чем при использовании коэффициента формы. Это позволило снизить погрешности получаемых значений максимального прогиба в 2…2,5 раза при использовании аргумента .

При построении граничных кривых использованы полиномы или их отношения. Например, для кривой, изображенной на рисунке 7, а, построена зависимость

, (11)

которая дает погрешность не выше 3,6%.

а) б)
а) шарнирное опирание; б) жесткое защемление

Рисунок 7 – Единые кривые «максимальный прогиб – отношение конформных радиусов» для правильных n-угольных треугольных и ромбических пластинок

Используя методику МИКФ, получены зависимости для определения коэффициента kw:

– при линейной интерполяции –

, (12)

– при степенной интерполяции –

, , (13)

где kw1 и kw2 – значения коэффициента kw для первой и второй «опорных» пластинок, которые определяются по аппроксимирующим функциям ; – отношение конформных радиусов для заданной пластинки; и – то же, для «опорных» пластинок.

Графически линейная и степенная интерполяции опорных решений показаны на рисунке 8. На нем точками 1 и 2 обозначены «опорные» решения, кривая I принадлежит действительным значениям kw, кривая II – приближенным значениям, получаемым по формулам (12) и (13).

а) б)
а) линейная; б) степенная

Рисунок 8 – Линейная и степенная интерполяции «опорных» решений по отношению конформных радиусов

Для решения конкретных задач исследуются рациональные геометрические преобразования пластинок сложных форм (параллелограммных, трапециевидных) и рациональные способы интерполяции опорных решений. Например, для параллелограммных пластинок наиболее рациональным преобразованием оказался аффинный сдвиг прямоугольника параллельно основанию (рисунок 9), а наиболее рациональной – линейная интерполяция по (12).

Рисунок 9 – Геометрическое преобразование аффинного сдвига параллелограммной пластинки

По аналогии с МИКФ формулируются изопериметрические свойства и закономерности изменения максимального прогиба для отдельных классов форм пластинок в зависимости от отношения конформных радиусов. На основе этих свойств разрабатывается методика рационального выбора форм пластинок равной (заданной) жёсткости – элементов заполнения несущей панели с двумя опорными направляющими (лонжеронами) (рисунок 10).

1 – лонжерон; 2 – пластинка; 3 – стрингер

Рисунок 10 – Несущая панель с двумя опорными направляющими

Численные исследования показали, что наиболее выгодным является заполнение пластинками в виде прямоугольного треугольника.

В четвертой главе строятся аппроксимирующие функции по решениям, полученным с помощью МКЭ, для всевозможных комбинаций граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления по сторонам пластинок в виде прямоугольника, ромба, равнобедренных треугольников и правильных многоугольников. Построенные функции по виду аналогичны функции (11). Они позволяют выбрать опорные решения для любых четырехугольных пластинок с комбинированными граничными условиями. При отработке методики интерполяции опорных решений по отношению конформных радиусов для параллелограммных и трапециевидных пластинок выявлены наиболее рациональные геометрические преобразования и способы интерполяции.

Так, для трапециевидных пластинок самым рациональным оказался способ интерполяции с постоянной величиной отношения = const, при котором опорные пластинки (прямоугольные и трапециевидные, стороны которых касаются вписанной окружности) подбираются с тем же значением отношения , что и трапециевидные. А параметром, по которому осуществляется интерполяция, выступает коэффициент формы треугольников, образованных диагоналями и основанием пластинок (рисунок 11).

Рисунок 11 – Определение формы и геометрических параметров «опорных» пластинок для заданного отношения конформных радиусов ( = const)

Для иллюстрации работоспособности предложенной методики интерполяции по отношению конформных радиусов приводятся примеры решения многочисленных тестовых задач, связанных с параллелограммной и трапециевидной формами пластинок. Для реализации разработанных способов решения задач с использованием приёма интерполяции опорных решений по отношению конформных радиусов на ЭВМ в диссертации разработаны соответствующие алгоритмы и программы (рисунки 12…15). Приводятся основные сведения о работе программ, их возможностях и область применения. Программы написаны на языке Object Pascal в среде объектно-ориентированного программирования Delphi 7.

В приложении 1 приводится сравнительный анализ результатов расчета пластинок, в приложении 2 – граничные аппроксимирующие кривые «максимальный прогиб – отношение конформных радиусов» для пластинок с комбинированными граничными условиями, в приложении 3 – сведения о внедрении результатов работы.

Рисунок 13 – Общий алгоритм программы «RRGeomModelPlatsDesignRigidCond»

Рисунок 12 – Общий алгоритм программы «RRMaximalDeflectionPlateGraphic»

Рисунок 14 – Экранное представление работы программы «RRMaximalDeflectionPlateGraphic»

Рисунок 15 – Экранное представление работы программы «RRGeomModelPlatsDesignRigidCond»



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.