авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

Интервальные оценки в моделях комплексных переменных

-- [ Страница 2 ] --

2) фактическое значение незначительно вышло за границы прямоугольника по величине, но находится посередине доверительного интервала для

Логика подсказывает нам, что возникновение ситуации 2 более предпочтительно, т.к. полученное фактическое значение располагается ближе к одному из средних значений интервалов. По той же причине вероятность получения такого значения будет выше, чем в случае 1. Следовательно, возможны такие ситуации, при которых построенная по описанному выше методу область является неадекватной – она может «упустить» более вероятные варианты, тогда как менее вероятные войдут в нее.

Д. Химмельблау рассматривает линейное уравнение регрессии вида, оценка которого представлена в виде. Он утверждает, что прямоугольник (2), образованный оценками доверительных интервалов, и оценка совместной доверительной области, ограниченная эллипсом, могут содержать существенно различные значения коэффициентов. В случае, если требуется определить, описывает ли экспериментальные данные линейная модель, учитывающая одновременно изменение углового коэффициента и ординаты при, необходимо оценить совместную доверительную область дляи. Она будет представлять собой эллипс, уравнение которого выглядит следующим образом:

, (3)

где F – статистика Фишера, – оценка стандартной ошибки, – число повторных измерений зависимой переменной при данном значении, – вероятность того, что значение находится вне доверительной области.

Уравнение соответствует границе некоторой области (которая сама является случайной), содержащей параметры и со 100(1-) %-ной надежностью.

Другой способ построения совместных доверительных областей основан на рассмотрении плотностей вероятностей изучаемых величин.

В случае, если одна действительная случайная величина имеет нормальный закон распределения (а именно такие величины мы и рассматриваем) плотность ее распределения представляет собой параболу. В двумерном случае предположение о нормальном совместном распределении двух случайных величин приведет к тому, что двумерная плотность распределения будет представлять собой поверхность Гаусса. Пересечение ее с горизонтальной поверхностью, задающей уровень значимости, даст в проекции контур эллипса, который и будет являться совместной доверительной областью для изучаемых случайных величин.

На основе описанных выше рассуждений сделан вывод о том, что для построения доверительной области для комплексной переменной необходимо использовать подход, основанный на наличии взаимосвязи между экономическими показателями, объединенными в комплексную переменную. Поскольку коэффициенты регрессионной модели отражают влияние каждой из составляющих комплексного аргумента на комплексный результат, то и сами коэффициенты не стоит рассматривать как статистически независимые величины.

2. Построение доверительной области для коэффициента регрессии с помощью модифицированной статистики Хотеллинга.

Статистика Хотеллинга также служит способом построения совместных доверительных областей для двух и более случайных величин, коррелированных между собой, в виде эллипсов. Метод применения статистики Хотеллинга является наиболее простым из всех описанных выше, в связи с чем он используется в диссертационном исследовании в качестве основы.

Для нахождения совместной доверительной области с использованием аппарата многомерных статистических методов для двумерного вектора коэффициентов с помощью распределения Хотеллинга используется статистика t, которая в матричном виде выглядит следующим образом:

, (4)

где С – матрица оценок ковариаций, n – число наблюдений, – вектор математических ожиданий двумерного случайного вектора B; - вектор выборочных оценок математических ожиданий двумерного случайного вектора B.

Хотеллинг связал величину T2 с распределением F при заданной доверительной вероятности P, известных значениях k и n:

(5)

Доверительная область математического ожидания k-мерного случайного вектора Y с доверительной вероятностью P определяется следующим неравенством:

(6)

На основе экспериментальных данных в диссертационном исследовании сделан вывод о том, что необходимо модифицировать данный способ для того, чтобы полученные модели адекватно описывали реальные экономические взаимосвязи и могли быть использованы для прогнозирования. Основной задачей этой модификации является поиск такого способа адаптации вышеизложенного метода к задаче диссертационного исследования, который позволил бы расширить доверительную область с тем, чтобы фактические значения с заданной степенью доверительной вероятности попадали бы в вычисляемую область. Кроме того, необходимо использовать те же характеристики случайной величины, а предлагаемая модификация должна не усложнить вычисления статистики, а, может быть, даже упростить ее.

В ходе исследования на основе многочисленных эмпирических экспериментов было выявлено, что указанным выше условиям наилучшим образом удовлетворяет следующий поправочный коэффициент Н, корректирующий связь между статистикой Хотеллинга и F-статистикой:

(7)

С учётом этого модифицированная статистика Хотеллинга будет связана со статистикой F следующим образом:

(8)

Применение модифицированной статистики на практике показало хорошие результаты оценивания исследуемых величин.

3. Метод декомпозиционных доверительных границ для построения доверительной области расчетного значения зависимой комплексной переменной результата.

Метод декомпозиционных доверительных границ заключается в следующем. Согласно алгоритму строится доверительная область для коэффициента регрессии, после чего находится ряд точек (около 40 штук), лежащих на ее границе. Затем каждая из этих точек умножается на конкретное наблюдение по переменной. В результате получаем ряд точек, лежащих на доверительной границе для соответствующего значения зависимой переменной, который представляет собой эллипс. Чтобы получить доверительные границы для всего ряда расчетных значений, необходимо точки границы для коэффициента В умножить на каждое наблюдение по переменной. Данный способ и построенную регрессионную модель можно использовать для нахождения расчетных значений и соответствующих им доверительных областей для моделирования значения искомого показателя, когда исследователь владеет информацией лишь о динамике независимой переменной.

На рисунке 2 изображены доверительные области для уравнения регрессии, построенные для всего ряда исходных значений и. Величина представляет собой зависимость макроэкономических показателей потребления и накопления как составляющих ВВП от комплексной переменной экспорта и импорта.

Как видно из рисунка, доверительные области сильно увеличиваются по мере отдаления значений от их среднего, тем самым характеризуя нарастание неопределенности.

Рисунок 2. Доверительные области для при n=36, млрд.руб.

Метод декомпозиционных доверительных границ предлагается использовать в задачах интерполяции комплекснозначных показателей.

4. Метод агрегированных доверительных границ для построения доверительной области расчетного значения зависимой комплексной переменной результата.

Метод агрегированных доверительных границ базируется на применении статистики Хотеллинга и поправочного коэффициента Н непосредственно к двумерной величине - ряду расчетных значений. Алгоритм нахождения доверительных областей в этом случае сводится к следующему:

1. Найти оценки МНК для коэффициента регрессии.

2. Найти ряд расчетных значений, подставляя в качестве и найденные оценки для них по методу наименьших квадратов.

3. Построить доверительные области по описанному выше алгоритму построения областей для коэффициента регрессии с помощью модифицированной статистики Хотеллинга. Вместо средних значений ряда в выражение (8) подставляется текущее расчетное значение, соответствующее конкретному наблюдению по. Результатом подстановок будут являться n канонических уравнений эллипсов, определяющих доверительную область для уравнения регрессии.

Метод агрегированных доверительных границ является более общим по сравнению с методом декомпозиционных доверительных границ, использует меньшее количество расчетных данных и шагов, за что и получил свое название.

На рисунке 3 представлены доверительные области для комплексного линейного уравнения регрессии, найденные методом агрегированных доверительных границ. Как видно из рисунка, по мере увеличения номера наблюдения эллипсы сдвигаются вправо и вверх, что говорит о возрастающем тренде исходных экономических показателей. То же самое можно сказать, глядя на рисунок 2. Отличие между доверительными областями, построенными двумя разными способами, состоит в степени их увеличения относительно среднего значения. Если на рисунке 2 эллипсы резко увеличиваются в размерах по мере отдаления от, на рисунке 3 это увеличение практически не заметно. Это объясняется характером ряда, к которому применяется статистика Хотеллинга. Во втором случае, как было показано выше, этот ряд представляет собой ряд расчетных значений, который не имеет большой дисперсии. Метод декомпозиционных доверительных границ получает эллипсы путем умножения доверительной области для коэффициента регрессии В на конкретное наблюдение переменной. Естественно, что в результате умножения «крайние» эллипсы получат большее растяжение, чем те, которые располагаются близко к среднему значению.

Рисунок 3. Доверительные области для комплексного уравнения регрессии при n=36, млрд.руб.

По мнению автора, следует с большей осторожностью относиться к методу декомпозиционных доверительных границ. Это связано с тем, что умножение точек границ эллипса для комплексного коэффициента регрессии на переменную является косвенным способом определения границ, т.к. доверительные границы, построенные для комплексного уравнения регрессии, зависят от того, как будут построены доверительные границы для коэффициента регрессии. Кроме того, этот метод представляется более сложным как с точки зрения количества проводимых операций, так и с точки зрения их технической реализации в прикладных программных продуктах. К тому же этот метод базируется на предположении о том, что факторная переменная является детерминированной. В случае если она носит вероятностный характер, применение метода может привести к неточным результатам.

Особое внимание следует обратить на то, что в данном методе при значительной удаленности текущего наблюдения по от его среднего значения доверительная область сильно расширяется. Это четко видно на рисунке 2, где крайние области в несколько раз шире, чем область, находящаяся в центре ряда, то есть они имеют большую вариацию.

В связи с вышесказанным применение метода декомпозиционных доверительных границ будет ограничено узкоспециализированными задачами, такими как задача интерполяции комплекснозначных показателей.

Метод агрегированных доверительных границ имеет более широкое применение в задачах аппроксимации и прогнозирования, т.к. он лишен изложенных выше недостатков и гораздо более прост в обращении, в то время как результаты его использования отвечают поставленной задаче.

5. Комплексные коэффициенты сбалансированности и соответствия для оценки работоспособности комплекснозначных эконометрических моделей.

Для оценки работоспособности полученной модели в первую очередь были использованы классические коэффициенты из эконометрики действительных чисел, адаптированные к комплексным переменным, – средние ошибки аппроксимации (9) и (10):

(9)

. (10)

В большинстве случаев эти коэффициенты дают хорошие результаты и их достаточно для оценки адекватности полученной модели. Однако значения мнимой части комплексной ошибки аппроксимации далеко не всегда стремятся к нулю, а зачастую наоборот превышают значение действительной части. Это сильно усложняет интерпретацию полученных результатов. Кроме того, на практике существует ряд ситуаций, в которых ни одна из приведённых формул для расчета ошибок аппроксимации не даёт правильной информации о свойствах построенных моделей:

  1. Расчёт средней ошибки аппроксимации для ряда, среднее значение по которому близко к нулю.
  2. Расчёт средней ошибки аппроксимации для ряда данных, в котором имеются значения, близкие к нулю.

В этих случаях ошибка аппроксимации принимает чрезмерно завышенное значение. Наиболее часто такая ситуация встречается, когда исследователь имеет дело с рядом относительных, центрированных данных, среднее значение которого, естественно, равно нулю.

В качестве альтернативы для оценки работоспособности моделей в описанных выше случаях Светуньковым И.С. были предложены коэффициенты сбалансированности и соответствия. В данном диссертационном исследовании эти коэффициенты были адаптированы к случаю с комплексными переменными. Коэффициент сбалансированности имеет вид:

, (11)

где - фактическое значение результата, - расчетное значение результата, n – число наблюдений.

Коэффициент соответствия имеет вид:

, (12)

где, если, (13)

, если. (14)

Коэффициент сбалансированности В будет представлять собой комплексное число. Равенство коэффициента нулю означает абсолютное совпадение между построенной моделью и фактическими данными. Коэффициент также может принимать только такие значения, что. По мере отдаления фактических данных от расчетных абсолютное значение коэффициента будет увеличиваться.

Комплексный коэффициент соответствия также будет представлять собой комплексное число. Многочисленные расчеты показали, что значение коэффициента С лежит в пределах от -100% до 100% как по действительной, так и по мнимой частям.

В случае, когда расчетные значения зависимой переменной полностью совпадают с фактическими, коэффициент равен 100% по действительной части и нулю по мнимой. При отдалении расчетных значений признака от соответствующих фактических значений приводит к отдалению действительной части коэффициента С от 100% и мнимой части от нуля. Противоположные по знаку расчетные значения результата дадут значение действительной части коэффициента C = -100%, а мнимой – ноль.

Следует обратить внимание на то, что условия (13) и (14) необходимы для того, чтобы действительная часть комплексного коэффициента С не превысила 100%. Результаты исследования показали, что при расчете комплексного коэффициента соответствия С по формулам (13)-(14) необходимо сравнивать значения модулей для расчетного и фактического значений зависимой комплексной переменной. При проверке данных ряда на выполнение условий коэффициент С будет учитывать отклонения расчетных значений от фактических как в положительную, так и в отрицательную стороны.

Материалы диссертации были использованы при моделировании макроэкономических процессов России, которое осуществлялось с помощью нескольких комплекснозначных моделей. В качестве основного примера исследовалась зависимость конечного потребления и валового накопления от основных фондов и численности экономически активного населения за период с 1995 по 2005 годы. Комплексное уравнение регрессии, построенное с помощью МНК, при этом приняло вид:

(15)

Для данной модели были найдены интервальные оценки с помощью предложенных в работе алгоритмов. Сравнение результатов этих построений с существующими методами на периоде 2006-2008 годов показало преимущество предложенных в диссертации методов. Из фактических значений результирующего показателя за эти три года в доверительный интервал, построенный с помощью статистики Хотеллинга, вошло два значения, третье осталось далеко за пределами области. Модифицированная статистика Хотеллинга, предложенная в диссертации, позволила получить такие интервальные оценки, которые входят в соответствующую область.

Если вместо комплекснозначной модели (15) строить систему действительных уравнений регрессии, то будут получены менее хорошие результаты. Интервальные оценки для прогнозных значений показателей покрывают соответствующие фактические значения исследуемого показателя в одном или двух случаях из трех, либо не покрывают вообще. Исключением является применение метода модифицированной статистики Хотеллинга, предложенной в диссертации, в случае использования которой все наблюденные значения эндогенной переменной лежат внутри соответствующей ей области.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.