Интервальные оценки в моделях комплексных переменных

На правах рукописи

Чанышева Амина Фанисовна

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

В МОДЕЛЯХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Специальность 08.00.13 – Математические и инструментальные

методы экономики

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата экономических наук

Санкт-Петербург – 2011

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов».

Защита состоится «___»___________2011 года в _______ часов на заседании диссертационного совета Д 212.237.03 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов» по адресу: 191023, Санкт – Петербург, ул. Садовая, 21.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов».

Автореферат разослан «_____»_________ 2011 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Завгородняя А.В.

1. I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационного исследования. Сложность социально-экономических процессов требует использования соответствующего этой сложности инструмента моделирования. В последние годы одним из таких инструментов выступает теория функций комплексных переменных. Модели комплекснозначной экономики позволяют описать процессы, моделирование которых с помощью действительных переменных затруднено. Сегодня комплекснозначная экономика представляет собой достаточно развитый математический инструмент, опирающийся в том числе на эконометрику комплексных переменных. Оценки МНК этих моделей позволяют использовать последние в реальной экономической практике. Но эти оценки являются точечными, а теоретическое и методическое обоснования интервальных оценок комплекснозначных моделей пока не даны, что сужает границы применения комплекснозначной экономики в реальной практике. В связи с этим задача построения интервальных оценок комплекснозначных моделей экономики представляется актуальной.

Степень разработанности научной проблемы.

Инструментарий экономико-математических методов в последнее время развивается слабо, особенно в сторону создания принципиально новых моделей, которые могли бы адекватно описывать непростые экономические взаимосвязи и процессы современного мира. В связи с этим проблема ограниченности используемого инструментального аппарата стала выходить на первый план. Для решения этой проблемы на кафедре экономической кибернетики и экономико-математических методов СПбГУЭФ было предложено использовать в экономико-математическом моделировании такой математический аппарат, как теория функций комплексных переменных.

На сегодняшний день решены первоочередные задачи по формированию основ комплекснозначной эконометрии, опубликованные в трудах Светунькова С.Г., Светунькова И.С., Савинова Г.В., Корецкой Т.В., Сиротиной Е.В. и других ученых. К их числу относятся:

1. обоснование возможности использования комплексных чисел в экономике и способа объединения экономических показателей в комплексную переменную;
2. разработка метода наименьших квадратов применительно к задачам оценивания значений коэффициентов линейной комплекснозначной функции, а также основных нелинейных функций;
3. развитие аппарата теории производственных функций с применением комплексных переменных. Показано, что в ряде случаев комплекснозначные модели гораздо более точно описывают реальные процессы;
4. решение основных задач регрессионно-корреляционного анализа комплекснозначной эконометрики;
5. построение классифицирующей производственной функции комплексного переменного типа Кобба-Дугласа, анализ коэффициентов которой позволяет сделать вывод об эффективности производства, а также нахождение таких коэффициентов модели, при которых ошибка аппроксимации данной функции является минимальной;
6. исследования динамики акций фондовых бирж с использованием индекса комплексной переменной.

Тем не менее задача нахождения интервальных оценок комплекснозначной эконометрической модели ставится и решается впервые.

Цель и задачи диссертационного исследования. Целью диссертационной работы является разработка теоретических и методических оснований для построения доверительных областей в эконометрии комплексных переменных.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие основные задачи:

1. Изучены основные положения теории социально-экономического прогнозирования и роль математического моделирования для решения задач прогнозирования, рассмотрены основные методы прогнозирования.
2. Рассмотрены теоретические аспекты, лежащие в основе формирования нового научного направления – эконометрики комплексных переменных, сделан обзор и анализ моделей, применяемых в эконометрике действительных переменных.
3. Показаны первоочередные задачи формирования основ эконометрии комплексных переменных и достижения в этой области.
4. Разработаны подходы к построению доверительных областей для комплексного коэффициента линейной регрессии, а также для расчетных значений зависимой переменной комплексного уравнения регрессии. Приведены задачи, решаемые с помощью данных методов.
5. Проведен сравнительный анализ классических и модифицированных методик построения доверительных областей с целью обоснования необходимости адаптации методов эконометрии действительных переменных к комплекснозначной эконометрике. Данная адаптация осуществлена.
6. Проанализированы существующие и предложены новые способы оценки адекватности комплекснозначных эконометрических моделей.
7. Все полученные результаты применены на условных и реальных экономических данных, показана их эффективность и работоспособность.

Объектом исследования выступают социально-экономические системы макроуровня, адекватное описание которых в силу их сложности осуществляется с помощью методов комплекснозначной экономики.

Предметом исследования являются социально-экономические процессы, моделируемые с помощью методов эконометрии комплексных переменных.

Теоретической и методологической основой исследования послужили основные положения теории вероятностей и математической статистики, эконометрики, социально-экономического прогнозирования, теории функций комплексных переменных, теории производственных функций, элементы комплекснозначной экономики. В работе широко используются такие общенаучные методы исследования, как системный подход, анализ и синтез, метод аналогий и др.

Информационную базу исследования составили статистические данные органов государственной статистики, тематические информационно-аналитические материалы, представленные в научной литературе, периодической печати и сети Интернет.

Научная новизна диссертации заключается в разработке методов построения интервальных оценок статистических характеристик комплекснозначных эконометрических моделей.

К наиболее существенным результатам исследования, обладающим научной новизной и полученным лично автором, можно отнести следующие:

1. Исходя из экономического смысла задачи, обоснована эллипсоидная форма доверительной области для коэффициентов эконометрической модели комплексных переменных и расчетных значений исследуемого комплексного показателя.
2. Введен коэффициент для модификации метода расчета статистики Хотеллинга, адаптированной к задачам комплекснозначной эконометрики, касающегося построения доверительных областей.
3. Разработан «метод декомпозиционных доверительных границ» для построения доверительной области расчетного значения зависимой комплексной переменной результата, который предлагается использовать в задачах интерполяции комплекснозначных показателей.
4. Предложен «метод агрегированных доверительных границ» для построения доверительной области расчетного значения зависимой комплексной переменной результата, который рекомендуется к применению в различных экономических задачах аппроксимации и прогнозирования.
5. Адаптированы к использованию с комплексными переменными и применены коэффициенты сбалансированности и соответствия для оценки работоспособности комплекснозначных эконометрических моделей. Дана интерпретация полученным комплексным коэффициентам.

Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в том, что основные положения диссертационной работы могут быть использованы для моделирования сложных экономических процессов и проведения эконометрических исследований в различных областях экономики, как на макро, так и на микроуровне.

Апробация результатов исследования.

Основные положения диссертационного исследования прошли апробацию на рядах ретроспективных данных по таким макроэкономическим показателям, как валовой внутренний продукт, экспорт, импорт, численность экономически активного населения и численность занятых в Российской Федерации, курсы доллара и евро к рублю и др. Интервальные оценки, полученные в ходе исследования, являлись хорошим средством в процессе принятия решения о направлении изменений значений экономических показателей и их количественного описания. Актуальность темы диссертационного исследования подтверждается использованием ее основных результатов при выполнении научного исследования, поддержанного грантом РФФИ №07-06-00151 «Разработка основ экономико-математического моделирования с использованием комплексных переменных» (2007 – 2009 гг.)

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и приложений.

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы его цель и основные задачи, определены предмет и объект, раскрыта научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе – «Основы теории и задачи эконометрии комплексных переменных» - исследованы основные понятия, принципы и разделы эконометрики; выявлены недостатки эконометрики действительных переменных, заключающиеся в ограниченности применяемого на данный момент математического аппарата; рассмотрены теоретические аспекты, лежащие в основе формирования эконометрики комплексных переменных; приведены основные достижения в рамках нового научного направления.

Во второй главе – «Теоретические и методические основы построения интервальных оценок комплекснозначных функций» - предложены методы построения доверительных областей для коэффициента регрессии комплексной модели, а также для расчетных значений зависимой переменной; обоснована форма доверительной области в эконометрике комплексных переменных; рассмотрены основные достоинства методов, области их практического применения; проведен сравнительный анализ моделей с использованием классической и модифицированной статистик Хотеллинга.

В третьей главе – «Аппроксимация и прогнозирование российской экономики комплекснозначными функциями» - все полученные в ходе диссертационного исследования результаты апробируются на реальных рядах данных; проводится полное эконометрическое исследование комплекснозначной модели; рассматривается применение адаптированных к комплекснозначной экономике коэффициентов сбалансированности и соответствия, представляющих собой хороший инструмент для оценки работоспособности комплексных уравнений регрессии.

В заключении обобщены основные результаты исследования.

По теме диссертационной работы опубликовано 7 научных статей общим объемом 1,8 печатных листа.

II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

В настоящее время теория функций комплексных переменных используется в моделях, описывающих социально-экономические процессы в различных сферах хозяйственной деятельности. Так, например, степенная производственная функция комплексных переменных с комплексными коэффициентами сочетает в себе все возможные типы зависимости производственных результатов от производственных ресурсов:

,

где С – суммарные затраты на производство (издержки); G – валовая прибыль; K – затраты капитальных ресурсов; L – затраты трудовых ресурсов.

Показательная и логарифмическая разновидности таких функций имеют вид:

.

.

Используется в теории и на практике классифицирующая производственная функция комплексного переменного, основанная на производственной функции Кобба-Дугласа:

,

где G – валовая прибыль; С – издержки; – основной капитал; – неосновной (вспомогательный) капитал; – труд основных работников; – труд неосновных (вспомогательных) работников; - параметры модели.

Кроме того, с помощью аппарата теории функций комплексной переменной построена модель зависимости между ценой и объёмом акций фондового рынка. Цена и объём продаж, выраженные полярным углом и модулем, графически представляют собой так называемую К-паттерну, характеризующую временные отрезки стабильного состояния экономической конъюнктуры фондового рынка и описываемую логарифмической комплекснозначной моделью.

Существующие на данный момент разработки позволяют получить только точечные оценки описанных выше моделей, что недостаточно для целей моделирования экономики. Для более полного описания сути и особенностей реальных экономических процессов необходимо найти интервальные оценки этих и других комплекснозначных моделей.

Для моделирования сложных социально-экономических процессов могут использоваться комплекснозначные модели различных форм, большая часть из которых может быть приведена к линейному виду. Ключевой задачей данного диссертационного исследования является построение интервальных оценок для линейной зависимости комплексного социально-экономического результата от комплексного аргумента следующего вида:

, (1)

где - действительная и мнимая части комплексной переменной результата; - действительная и мнимая части комплексной переменной фактора; - оценки действительной и мнимой составляющих комплексных коэффициентов, найденные с помощью МНК. Поскольку эти оценки являются выборочными, необходимо найти их доверительные границы для оценки свойств генеральной совокупности.

1. Обоснование эллипсоидной формы доверительной области для коэффициентов эконометрической модели комплексных переменных и расчетных значений исследуемого комплексного показателя.

Для построения доверительной области для коэффициента регрессии в первую очередь был опробован способ, не учитывающий ковариации между переменными и. Для построения доверительной области в таком случае используется неравенство вида:

(2)

где - статистика Стьюдента для уравнения регрессии; – стандартные ошибки для соответствующих уравнений регрессии; – расчетные значения действительной и мнимой частей переменной

Доверительные области, построенные с помощью данного способа, представляют собой прямоугольники на комплексной плоскости (рис.1).

Рисунок 1. Доверительные границы для расчетных значений Y без учета ковариации, млрд. руб.

Здесь возможно возникновение следующих ситуаций:

1) фактическое значение наблюдаемого признака находится внутри доверительной области – прямоугольника, но в самом его углу. То есть полученное в результате проведения эксперимента значение расположено близко к доверительной границе как для величины, так и для величины.