авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ РОССИЙСКАЯ БИБЛИОТЕКА - WWW.DISLIB.RU

АВТОРЕФЕРАТЫ, ДИССЕРТАЦИИ, МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ, КНИГИ

 
<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков cпециальность

-- [ Страница 2 ] --

Отметим, что если последовательность случайных векторов такова, что ковариационные матрицы векторов имеют предел10 – некоторую действительную матрицу11, то только в этом случае можно говорить о состоятельности оценки при в обычном смысле. Если этот предел не существует, то под состоятельностью оценки, следуя, например, работе [Newey, West, 1987], мы понимаем условие при .

Оказывается, можно сконструировать оценку для матрицы на основе временного ряда частичных сумм , даже если некоторые его значения «пропущены» (недоступны).

Предлагаемая в работе оценка имеет следующий вид:

, ,

где

– вектор из нулей и единиц, его i-я компонента равна нулю тогда, когда компонента наблюдения пропущена,

– диагональная матрица с элементами этого вектора на диагонали,

,

– наибольший из моментов времени , когда «доступна».

Получен результат о том, что оценка является положительно полуопределенной для любого , при условии (Условие 1), что веса для этого могут быть представлены в виде:

Теорема 1. При выполнении Условия 1 на веса матрица является положительно полуопределённой.

Далее доказано, что данная оценка является состоятельной оценкой матрицы (или матриц в вышеуказанном смысле), если (будем называть это Условием 2)

1. веса для любых , удовлетворяют ограничению для некоторого конечного , а также ,

2. такова, что и .

Теорема 2. Предположим, что выполнены следующие условия:

(i) При любом

как сложная функция измерима на при любом и с вероятностью 1 непрерывно дифференцируема по в некоторой окрестности точки – внутренней точки множества .

(ii) (a) Существует измеримая функция , такая, что для любого , для любого целого и любого верно что и , причём для некоторой константы выполнено .

(б) Существуют конечные константы , и , такие, что для любого натурального и любого таких, что выполняется .

(iii) Для любого последовательность обладает свойством -перемешивания с коэффициентами перемешивания размера , либо обладает свойством -перемешивания с коэффициентами перемешивания размера для некоторого .

(iv) Случайная величина такова, что сходится по распределению к некоторой случайной величине при .

Тогда при выполнении Условия 2 на веса

при

К примеру, всем условиям, приведённым выше, одновременно будет удовлетворять набор весов (в этом случае для любого и любого ).

Открытым в некоторой степени остаётся вопрос о выборе вектора весов . Второй теоретический результат работы отностится именно к этой области.

Наименьшее среднеквадратичное отклонение12 элементов оценки от истинного значения асимптотической ковариационной матрицы даёт так называемое квадратическое спектральное ядро:

(1.14) , для некоторого , где .

Единственным его недостатком является то, что для положительной полуопределённости оценки. Иными словами в оценку войдёт огромное количество автоковариаций очень высокого порядка. В такую оценку входит столько же слагаемых, сколько имеется наблюдений, что неудобно на длинных выборках и приводит к низкой точности на коротких выборках.

Более того, оказывается, что простое отбрасывание слагаемых высокого порядка приводит к потере положительной полуопределённости, как показывает следующий пример. Рассмотрим выборку одномерных наблюдений , , где при нечетном и при четном . Возьмем и . Веса и значения выборочных автоковариаций при приведены в следующей таблице.



0

-

1.00

1

0.914

-0.95

2

0.687

0.90

3

0.398

-0.85

4

0.138

0.80

5

-0.029

-0.75

6

-0.086

0.70

При этих значениях .

Возникает вопрос о построении таких весов , которые бы обладали одновременно тремя свойствами:

  1. гарантировали положительную полуопределённость оценки,
  2. содержали намного меньше ненулевых элементов, чем длина выборки,
  3. сходились к квадратическим спектральным весам при росте выборки.

Доказано, что такое возможно.

Второй теоретический результат диссертации говорит, что такие веса можно построить по формуле

(1.16) , ,

где числа определены как

(1.18) ,

это какая-нибудь функция, монотонно возрастающая и принимающая положительные значения, такая что

(1.17) , ,

а определяется через функцию Бесселя первого порядка как

.

То, что такие веса с одной стороны гарантируют положительную полуопределённость оценки, очевидно из теоремы 1. Также в главе 1 доказана теорема о том, что они сходятся к квадратическим спектральным весам, описанным выше.

Теорема 3. Предположим, что

1) функция удовлетворяет приведенным выше условиям, в частности, условиям (1.17);

2) веса рассчитаны по формулам (1.16), (1.18);

3) веса рассчитаны по формулам (1.14) при , то есть . Тогда при. Визуально качество аппроксимации можно оценить по -143.

Тогда  при. Визуально качество аппроксимации можно оценить по -144 при . Визуально качество аппроксимации можно оценить по Пример-145.

Визуально качество аппроксимации можно оценить по Рис. 2.
Рис. 2. Пример качества аппроксимации весов весами

Как оказалось во второй главе работы, при численном исследовании, такой укороченый набор весов приводит к более высокой точности оценок в случае коротких выборок, а в случае же длинных выборок оценки оказываются настолько же точны, как и непосредственно с использованием квадратического спектрального ядра.

Во второй главе работы проведено сравнение точности оценок ковариационной матрицы. Сравнение сделано по двум критериям, описание которых дается в разделах 4 и 5. Одним из этих критериев является точность оценок коинтеграционного вектора (критерий взят из работы [Phillips, Ouliaris, 1988]13), другим – точность оценок коэффициентов регрессии для I(1) временных рядов (из работы [Phillips, Moon, 1999]). Были выбраны эти критерии, т.к. во многих прикладных задачах важна точность этих векторов, а не самих элементов матрицы. Под словом «точность» мы понимаем выборочное среднеквадратичное отклонение от значения оцениваемой величины, как это сделано в [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 239].

В работе получена процедура выбора параметра ширины диапазона на основе данных различной частотности. В литературе такие процедуры носят название “automatic bandwidth selection” или “automatic lag selection”, (см., например [Newey, West, 1994]14 или [Christou, Pittis, 2002]15). Новизна же полученной процедуры заключается в том, что она рассчитана на данные различной частотности.

Для сравнения точности в случае временных рядов одинаковой частотности было проведено сравнение с оценкой ковариационной матрицы из другого класса – упрощённой версией т.н. оценки VARHAC, подробно исследованной в [Den Haan, Levin, 2000]16. Она основана на многомерном расширении рекурсии Левинсона-Дурбина, при помощи которого по ковариационной функции , строятся коэффициенты процесса -матрицы , и ковариационная матрица инноваций этого процесса, такие, что ковариационная функция этого процесса совпадает с для всех . Обозначим за , и такие -матрицы, которые получены этим способом из выборочных оценок ковариационной функции , . Упрощённая оценка VARHAC имеет вид:

.

(2.1)

В случае одинаковой частотности произведено сравнение точности с оценками:

,

(2.2)

,

(2.3)

,

(2.4)



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.dislib.ru - «Авторефераты диссертаций - бесплатно»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.